Penggandaan matriks kuantum?

Sepertinya ini tidak diketahui - tetapi apakah ada batas bawah yang menarik pada kompleksitas perkalian matriks dalam model komputasi kuantum? Apakah kita memiliki intuisi yang dapat mengalahkan kompleksitas algoritma Coppersmith-Winograd menggunakan komputer kuantum?

reference-request quantum-computing matrix-product

— Henry Yuen
sumber

Jawaban:

Dalam arXiv: quant-ph / 0409035v2 Buhrman dan Spalek menyajikan algoritma kuantum mengalahkan algoritma Coppersmith-Winograd dalam kasus di mana matriks output memiliki beberapa entri bukan-nol.

Pembaruan: Ada juga algoritma kuantum yang sedikit ditingkatkan oleh Dörn dan Thierauf .

Pembaruan: Ada peningkatan algoritma kuantum oleh Le Gall mengalahkan Burhman dan Spalek secara umum.

— Martin Schwarz
sumber

Ini baru bagi saya (saya tahu sedikit tentang hasil kuantum), tetapi melirik kertas, hasilnya bahkan lebih mengejutkan! Jika, untuk perkalian matriks

, ada

A_{n x m} B_{m x n} = C_{n x n}

$A_{nxm}B_{mxn}=C_{nxn}$

entri bukan-nol dalam output, produk dapat dihitung dalam waktusub-kuadrat,

o (\sqrt{n})

$o(\sqrt{n})$

o (n m)

$o(nm)$

— Daniel Apon

Ada sedikit perbaikan untuk ini untuk kasus khusus dari produk matriks Boolean, min {

} ketika ada

nonzeroes dalam output. (Itu muncul di makalah FOCS'10 kami `` Kesamaan Subkubis Antara Masalah Jalur, Matriks, dan Segitiga ''.)

n^{1.3} w^{17 / 30}, n^{2} + w^{47 / 60} n^{13 / 15}

$n^{1.3}w^{17/30}, n^2 + w^{47/60} n^{13/15}$

w

$w$

— virgi

n w^{1 / 2}

$nw^{1/2}$

$v^\dagger X Y v$ $v X^{-1} v$ $X$

— Joe Fitzsimons
sumber

v^{'} X Y v

$v'XYv$

@ Aram: Poin bagus! Saya tahu algoritma Anda berfungsi untuk matriks jarang, tetapi saya mendapat kesan bahwa itu bisa dibuat untuk matriks tertentu juga. Apakah ini benar?

— Joe Fitzsimons

Ya, itu berfungsi untuk matriks non-jarang setiap kali kita tahu cara yang baik untuk mensimulasikan orang-orang Hamilton. Jadi mungkin sesuatu nontrivial mungkin terjadi di sini.

— Aram Harrow

@ Aram: Dengan pengkodean yang Anda gunakan, bukankah kita juga mendapatkan transformasi Fourier dari semua matriks jarang melalui QFT?

— Joe Fitzsimons

@ Jo: Aku baru memperhatikan ini. Ya, matriks-matriks itu (yang dapat Anda anggap jarang dalam basis momentum) juga dapat digunakan. Ini tidak ada yang unik dari algoritma kami. Alih-alih itu adalah pernyataan tentang kelas orang Hamilton yang kita tahu cara mensimulasikan komputer kuantum.

— Aram Harrow