Gaussians independen berpasangan

Dengan (iid gaussians dengan rata-rata dan varians ), apakah mungkin (bagaimana?) Untuk mengambil sampel (untuk ) sehingga adalah gaussians berpasangan yang berpasangan dengan mean dan varians . $X_1,\ldots,X_k$ $0$ $1$ $m=k^2$ $Y_1, \ldots, Y_m$ $Y_i$ $0$ $1$

derandomization pr.probability

— Kaveh
sumber

@ Suresh, sehingga sepertinya tidak berfungsi.

E [(X_{i} + X_{j}) (X_{i} + X_{k})] = E [X_{i}^{2}] = 1

$E[(X_i+X_j)(X_i+X_k)] = E[X_i^2] = 1$

— Kaveh

Saya tidak tahu mengapa, tetapi saya menemukan jawaban MO untuk pertanyaan ini cukup lucu (terlepas dari pointer ke stats.SE): mathoverflow.net/questions/46180/…

— Suresh Venkat

Apa yang saya cari adalah sesuatu seperti mengambil kombinasi linier (yang jelas tidak bekerja) atau polinomial dll. (Yang tidak berfungsi segera) tetapi saya tidak dapat benar-benar memikirkan gagasan yang masuk akal yang tidak dijawab oleh jawaban Shai pada mathoverflow.

mungkin Anda harus memperbarui pertanyaan yang menunjukkan jawabannya di MO?

— Suresh Venkat

Apakah Anda memerlukan distribusi Gaussian bersama? Jika demikian, apa yang Anda butuhkan tampaknya tidak mungkin karena distribusi seperti itu ditentukan oleh matriks kovariansnya dan dengan demikian, kemandirian berpasangan dan kemandirian penuh akan sama.

— MCH

Jawaban:

Posting di MathOverflow menceritakan bagaimana cara beralih dari sejumlah kecil variabel acak Uniform independen [0,1] ke sejumlah besar variabel acak Uniformwise-independent Uniform [0,1]. Anda tentu saja bisa bolak-balik antara Seragam [0,1] dan Gaussian dengan membalik CDF. Tetapi itu membutuhkan analisis numerik karena CDF tidak berbentuk tertutup.

Namun, ada cara sederhana dari Gaussian ke seragam. Diberikan dua Gaussians independen , sudut seragam dalam kisaran . $X_1, X_2$ $\arctan(X_1/X_2)$ $[0,2 \pi]$

Demikian pula, metode Box-Muller mengubah dua variabel independen Uniform [0,1] menjadi dua variabel acak Gaussian independen.

Dengan menggunakan dua transformasi ini, Anda mengonsumsi dua Gaussians untuk menghasilkan seragam atau dua seragam untuk menghasilkan Gaussian. Jadi hanya ada faktor dalam efisiensi pengambilan sampel. Lebih lanjut, tidak diperlukan inversi dari Normal cdf. $O(1)$

— David Harris
sumber

-2

Konstruksi ini TIDAK memberikan variabel independen berpasangan (memang, bawah) seperti yang diminta oleh Anindya, tetapi memberikan variabel tidak berkorelasi berpasangan yang cukup untuk mendapatkan batasan konsentrasi yang baik untuk jumlah melalui ketidaksetaraan Chebyshev (dan ini adalah berkali-kali tujuan akhir). $|Y_{i,j}| = |Y_{i,j'}|$

Untuk setiap pasangan berbeda , misalkan , di mana adalah fungsi tanda. Sudah jelas bahwa setiap adalah variabel normal dengan rata-rata 0 dan varians 1. Untuk melihat bahwa mereka adalah orthogonal, untuk , perhatikan bahwa yang dapat dengan mudah diperiksa sama dengan 0 dengan melihat berbagai kasus persamaan yang mungkin antara . $(i,j) \in {[k] \choose 2}$ $Y_{i,j} = |X_i| \cdot \sigma(X_i X_j)$ $\sigma(\cdot)$ $Y_{i,j}$ $(i,j) \neq (i',j')$

E [Y_{i, j} Y_{i^{'}, j^{'}}] = E [| X_{i} X_{i^{'}} | \cdot σ (X_{i} X_{i^{'}} X_{j} X_{j^{'}})]

$\mathbb{E}[Y_{i,j}Y_{i',j'}] = \mathbb{E}[|X_i X_{i'}| \cdot \sigma(X_i X_{i'} X_j X_{j'})]$

i, i^{'}, j, j^{'}

$i,i',j,j'$

PS: Versi sebelumnya secara salah mengklaim kemerdekaan berpasangan.

— arnab
sumber

Saya tidak bisa mengikuti mengapa rata-rata produk menjadi nol akan menyiratkan independensi.

— Tsuyoshi Ito

@ TsuyoshiIto: Kritik Anda benar, tentu saja. Saya masih meninggalkan jawaban ini, karena saya pikir ini menarik.

— arnab

Jika Anda ingin menyimpan posting Anda, silakan gunakan tindakan pencegahan yang diperlukan untuk menghindari membingungkan para pembaca. Anda mungkin berpendapat bahwa versi saat ini (revisi 3) dari posting Anda tidak menyatakan sesuatu yang salah. Benar, tetapi pertanyaannya menanyakan sesuatu, dan posting Anda menjawab sesuatu yang lain tanpa menyatakannya. Harap mengerti bahwa ini sangat membingungkan pembaca.

— Tsuyoshi Ito