Masalah dengan kesenjangan kompleksitas terbuka yang besar

Pertanyaan ini adalah tentang masalah yang ada celah kompleksitas terbuka yang besar antara batas bawah yang diketahui dan batas atas, tetapi bukan karena masalah terbuka pada kelas kompleksitas itu sendiri.

Untuk lebih tepatnya, katakanlah masalah memiliki kelas gap $A,B$ (dengan $A\subseteq B$ , tidak didefinisikan secara unik) jika $A$ adalah kelas maksimal yang dapat kita buktikan sebagai , dan adalah batas atas minimal yang diketahui. , Yaitu kami memiliki algoritma dalam memecahkan masalah. Ini berarti jika kita akhirnya menemukan bahwa masalahnya adalah -complete dengan , itu tidak akan mempengaruhi teori kompleksitas secara umum, yang bertentangan dengan menemukan algoritma untuk masalah lengkap.$A$$B$$B$$C$$A\subseteq C\subseteq B$$P$$NP$

Saya tidak tertarik dengan masalah dengan dan , karena sudah menjadi objek pertanyaan ini .$A\subseteq P$$B=NP$

Saya mencari contoh masalah dengan kelas gap yang sejauh mungkin. Untuk membatasi ruang lingkup dan tepat pertanyaan, saya terutama tertarik pada masalah dengan dan , yang berarti keanggotaan dalam dan - yang koheren dengan pengetahuan saat ini, tanpa membuat kelas diketahui runtuh (misalnya kelas dari daftar ini ).$A\subseteq P$$B\supseteq EXPTIME$$P$$EXPTIME$

The Knot Kesetaraan Masalah .

Dengan dua simpul yang ditarik di pesawat, apakah secara topologi sama? Masalah ini diketahui dapat diputuskan, dan tampaknya tidak ada penghalang kompleksitas komputasi untuk keberadaannya dalam P. Batas atas terbaik yang saat ini diketahui pada kompleksitas waktunya tampaknya adalah menara dengan ketinggian detik c n , di mana c = 10 10 6 , dan n adalah jumlah penyilangan dalam diagram simpul. Ini berasal dari ikatan oleh Coward dan Lackenby pada jumlah gerakan Reidemeister yang diperlukan untuk mengambil satu simpul ke yang setara. Lihat kertas Lackenby yang lebih baru$2$$c^n$$c = 10^{10^{6}}$$n$ untuk beberapa hasil terkait yang lebih baru dan untuk bentuk eksplisit dari ikatan yang saya berikan di atas (halaman 16).

Here's a version of the minimum circuit size problem (MCSP): given the $2^n$ bit truth table of a Boolean function, does it have a circuit of size at most $2^{n/2}$?

Known to be not in $AC0$. Contained in $NP$. Generally believed to be $NP$-hard, but this is open. I believe it's not even known to be $AC0[2]$-hard. Indeed, recent work with Cody Murray (to appear in CCC'15) shows there's no uniform NC0 reduction from PARITY to MCSP.

The complexity of computing a bit (specified in binary) of an irrational algebraic number (such as $\sqrt{2}$) has the best known upper bound of $\mathsf{P^{{{PP}^{PP}}^{PP}}}$ via a reduction to the problem $\mathsf{BitSLP}$ which known to have this upper bound [ABD14]. On the other hand we do not even know if this problem is harder than computing the parity of $n$ bits - for all we know this problem could be in $\mathsf{AC^0}$. Notice however that we know that no finite automaton can compute the bits of an irrational algebraic number [AB07]

Another natural topological problem, similar in spirit to Peter Shor's answer, is embeddability of 2-dimensional abstract simplicial complexes in $\mathbb{R}^3$. In general it's natural to ask when can we effectively/efficiently decide that an abstract $k$-dimensional simplicial complex can be embedded in $\mathbb{R}^d$. For $k=1$ and $d=2$ this is the graph planarity problem and has a linear-time algorithm. For $k=2$ and $d=2$ there is also a linear time algorithm. The $k=2$, $d=3$ case was open until last year, when it was shown to be decidable by Matousek, Sedgwick, Tancer, and Wagner. They say that their algorithm has a primitive recursive time bound, but larger than a tower of exponentials. On the other hand they speculate that it might be possible to put the problem in NP, but going beyond that would be challenging. However, there doesn't seem to be any strong evidence that a polytime algorithm is impossible.

The latter paper has many references for further reading.

Multicounter automata (MCAs) are finite automata equipped with counters that can be incremented and decremented within one step but only take integers >=0 as numbers. Unlike Minsky machines (aka counter automata), MCAs are not allowed to test whether a counter is zero.

One of the algorithmic problems with a huge gap related to MSCs is the Reachability problem. E.g., whether the automaton can reach, from a configuration with the initial state and all counters zero, a configuration with an accepting state, and all counters zero again.

The problem is hard for EXPTIME (as shown by Richard Lipton in 1976), decidable (Ernst Mayr, 1981) and solvable in Fω3 (thanks, Sylvain, for pointing this out). A huge gap.

$\mathsf{QMA}(2)$ (Quantum Merlin-Arthur with two unentangled provers): certainly $\mathsf{QMA}$-hard, but only known to be in $\mathsf{NEXP}$.

The computational problem associated to Noether's Normalization Lemma for explicit varieties ("explicit" in the sense of this paper [freely available full version]). Best known upper bound is $\mathsf{EXPSPACE}$ (note, SPACE, not TIME!) but it is conjectured to be in $\mathsf{P}$ (and indeed, its being in $\mathsf{P}$ is essentially equivalent to derandomizing PIT).

The Skolem problem (given a linear recurrence with integer base cases and integer coefficients, does it ever reach the value 0) is known to be NP-hard and not known to be decidable. As far as I know anything in between would be consistent with our current knowledge without any collapses of standard complexity classes.