Apakah cukup menyortir banyak urutan 0-1 secara polinomi untuk jaringan penyortiran?

Prinsip 0-1 mengatakan bahwa jika jaringan penyortiran bekerja untuk semua urutan 0-1, maka itu berfungsi untuk set angka. Apakah ada sehingga jika jaringan mengurutkan setiap urutan 0-1 dari S, maka itu mengurutkan setiap urutan 0-1 dan ukuran adalah polinomial dalam ? $S\subset \{0,1\}^n$ $S$ $n$

Sebagai contoh, jika terdiri dari semua urutan di mana ada paling banyak run (interval) dari 1, maka apakah ada jaringan penyortiran N dan urutan yang tidak dipesan oleh N jika semua anggota diperintahkan oleh N? $S$ $2$ $S$

Jawaban: Seperti yang dapat dilihat dari jawaban dan komentar di dalamnya, jawabannya adalah bahwa untuk setiap string yang tidak disortir ada jaringan penyortiran yang menyortir setiap string lainnya. Bukti sederhana untuk ini adalah sebagai berikut. Biarkan string menjadi sedemikian rupa sehingga selamanya dan . Karena tidak , setelah pengurutan harus . Bandingkan dengan setiap yang . Kemudian bandingkan setiap pasangan sedemikian rupa sehingga dan $s=s_1\ldots s_n$ $s_i=0$ $i<k$ $s_k=1$ $s$ $s_k$ $0$ $k$ $i$ $s_i=1$ $(i,j)$ $i\ne k$ $j\ne k$ berkali-kali. Ini membuat seluruh string diurutkan, kecuali mungkin untuk , yang tidak disortir untuk , dan untuk string lain yang memiliki lebih banyak daripada . Sekarang bandingkan untuk downto kecuali untuk tempat di mana harus masuk . Ini akan mengurutkan semuanya kecuali . $s_k$ $s$ $1$ $s$ $s_k$ $i=n$ $1$ $s_k$ $s$ $s$

Pembaruan: Saya ingin tahu apa yang terjadi jika kami membatasi kedalaman jaringan ke . $O(\log n)$

ds.algorithms sorting sorting-network

— domotorp
sumber

Tampaknya menjadi mungkin Anda harus membatasi ukuran jaringan menyortir lebih kecil dari ukuran . Jika tidak, tidak bisakah jaringan hanya memeriksa apakah input adalah salah satu elemen dan bertindak dengan benar jika demikian, jika tidak bertindak salah?

S

$S$

S

$S$

— usul

@ Usul: Saya tidak berpikir jaringan sortir dapat memeriksa hal seperti itu. Bagaimanapun, itu wajar untuk bekerja dengan menyortir jaringan yang ukurannya jumlahnya banyak di .

n

$n$

— domotorp

Sepertinya tidak. Ian Parberry membuat referensi ke sebuah makalah oleh Chung dan Ravikumar, di mana mereka seharusnya memberikan konstruksi rekursif dari jaringan penyortiran yang menyortir setiap bitstring kecuali satu, dan lebih lanjut menyimpulkan bahwa masalah memverifikasi jaringan penyortiran adalah - selesai. Saya tidak dapat menemukan kertas aslinya segera, tetapi tentu saja cocok dengan intuisi (saya). $co$ $NP$

Sunting untuk menambahkan: Sebenarnya sangat mudah untuk menemukan jaringan yang melewatkan satu string. String yang akan dilewatkan adalah . Sekarang Anda hanya ingin rangkaian yang mengurutkan bit terakhir , lalu mengurutkan bit pertama . Sirkuit ini akan mengurutkan apa saja dengan setidaknya dua s, jelas akan mengurutkan semua-nol string, dan akan mengurutkan setiap string yang dimulai dengan . $(1,0,\ldots,0)$ $n-1$ $n-1$ $1$ $0$

— Andrew D. King
sumber

Dapatkah contoh jaringan pengurutan dalam jawaban Anda digeneralisasi, sehingga untuk setiap string yang diberikan, Anda dapat membangun jaringan pengurutan yang salah mengurutkan string itu? Anda menunjukkan cara melakukannya untuk satu string tertentu, tetapi bagaimana dengan string lainnya?

— DW

Anda pasti dapat melakukannya untuk setiap string dengan bobot

atau

, tapi saya ragu mungkin untuk melewatkan satu bitstring sewenang-wenang.

1

$1$

n - 1

$n-1$

— Andrew D. King

OK, jadi saya tidak melihat bagaimana jawaban Anda menunjukkan bahwa jawabannya adalah "Tidak". Konstruksi pada paragraf kedua dari jawaban Anda tidak menyiratkan jawaban negatif untuk pertanyaan awal, karena hanya ada banyak string bobot

atau

. Tampaknya semua pekerjaan dalam jawaban Anda sedang dilakukan oleh referensi dalam makalah Ian Parberry, tetapi kalimat dalam kertas Parberry agak kabur dan tanpa membaca kertas Chung et al. Saya tidak melihat bagaimana kita dapat menyimpulkan bahwa jawabannya pertanyaannya adalah "Tidak".

1

$1$

n - 1

$n-1$

— DW

Lebih ramping: " Pengurangan Turing nondeterministik yang kuat - suatu teknik untuk membuktikan ketidaktraktisan " (Chung & Ravikumar) mencantumkan berikut ini sebagai Lemma 2.1: diberikan setiap string non- sortir

, terdapat jaringan pengurutan ukuran polinom yang menyortir semua string dengan benar kecuali

. Sebagai buktinya mengacu pada "Pada ukuran set tes untuk menyortir dan masalah terkait" (Chung & Ravikumar), tetapi saya tidak bisa menemukan salinan dari makalah yang terakhir. Ini memang menyiratkan bahwa jawaban untuk pertanyaan ini adalah "Tidak".

x

$x$

x

$x$

— DW

Makalah oleh Chung & Ravikumar

— Kristoffer Arnsfelt Hansen