Seberapa cepat algoritma nondeterministic untuk menyelesaikan masalah EXPTIME harus menyiratkan

Seberapa cepat algoritma nondeterministic untuk menyelesaikan masalah EXPTIME harus menyiratkan $P \neq NP$ ? Sebuah waktu polinomial algoritma nondeterministic akan segera menyiratkan ini karena $P \neq EXPTIME$ tapi tidak ada yang percaya $NP = EXPTIME$ . Jika saya telah melakukan aljabar dengan benar (lihat di bawah) teorema hierarki waktu masih akan memberikan implikasi $P \neq NP$ untuk $O(2^n/f(n))$ waktu berjalan untuk setiap superpolynomial$f(\cdot)$ , tetapi untuk semua yang saya tahu ada masalah lengkap dengan reduksi efisien yang memungkinkan algoritma lebih lambat untuk memberikan hasilnya. Apakah ada masalah lengkap EXPTIME di mana kita tahu sesuatu seperti$2^n/n$ atau$2^n/n^2$ dengan nondeterminisme sudah cukup?

Klarifikasi "aljabar": $P = NP$ menyiratkan $EXPTIME=NEXPTIME$ dengan argumen padding, sehingga algoritma nondeterministic $2^n/f(n)$ untuk masalah lengkap EXPTIME juga akan menjadi salah satu untuk masalah lengkap NEXPTIME. Untuk superpolinomial $f(\cdot)$ ini akan bertentangan dengan teorema hierarki waktu nondeterministik karena kita dapat mengurangi menggunakan beberapa $L \in$ NTIME( 2 n ) .$(2^n)$

Saya pikir lebih mudah untuk memutarnya.

Jika P = N P , maka N T I M E ( T ( n ) ) ⊂ D T I M E ( ( T ( n ) ) c ) untuk beberapa konstanta c , dan setiap T ( n ) > n . Karena D T I M E ( ( T ( n ) c ) tidak mengandung $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{NTIME}(T(n)) \subset \mathsf{DTIME} ((T(n))^c)$$c$$T(n) > n$$\mathsf{DTIME} ((T(n)^c)$ T I M E ( T ( n ) c log T ( n ) ) ⊂ D T I M E ( T ( n ) c + 1 ) , ini berarti kita tidak dapat menyelesaikan, katakan semua masalah di D T I M E ( 2 n ) dalam N T I M E ( 2 ϵ n ) untuk beberapa$\mathsf{DTIME}(T(n)^{c}\log T(n)) \subset \mathsf{DTIME}(T(n)^{c+1})$$\mathsf{DTIME}(2^n)$$\mathsf{NTIME} (2^{\epsilon n})$$\epsilon$ Jadi waktu 2 o ( n ) algoritma non-deterministik untuk masalah yang lengkap untuk D T I M $2^{o(n)}$( 2 n ) di bawah pengurangan kuasi-linier akan cukup untuk membuktikan$\mathsf{DTIME} (2^n)$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$.

Simple Answer: For each $EXPTIME$-$hard$ problem there is some constant $c$ such that if we could solve the problem in $NTIME(2^{o(n^{\frac{1}{c}})})$, then $P \neq NP$.

Note: The constant $c$ comes from the instance size blow-ups that result from the reductions.

Justification: Let $X$ denote an $EXPTIME$-$hard$ problem. That means that every problem in $EXPTIME$ is polynomial time reducible to $X$. In fact, we can show more.

The acceptance problem for $2^n$ time bounded deterministic Turing machines is in $DTIME(n \cdot 2^n) \subseteq EXPTIME$ and therefore is polynomial time reducible to $X$.

Therefore, there must be some fixed constant $c$ such that every problem in $DTIME(2^n)$ is polynomial time reducible to $X$ where the instance size blow-up is $O(n^c)$. That is, instances of size n are reduced to instances of size $O(n^c)$ for $X$.

Now, if we had $X \in NTIME(2^{o(n^{\frac{1}{c}})})$, then $DTIME(2^n) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$. However, this implies $P \neq NP$ (see below for details).

Additional Details: One can show that $P=NP$ $\Leftrightarrow$ $\exists c^{\prime}$ $\forall k$ $NTIME(n^k) \subseteq DTIME(n^{c^{\prime}k})$.

In other words, if you can solve an $NP$-$complete$ problem in polynomial time, then there is a uniform way of speeding up any problem in $NP$.

Now, let's suppose that $P=NP$. By the preceding (with $k$=1) we get a constant $c^{\prime}$ such that

Next, we can use padding to scale up this inclusion and get

Then, by the deterministic time hierarchy theorem, we have

Therefore, we couldn't have $DTIME(2^{(c^{\prime}+\epsilon)n}) \subseteq NTIME(2^{n}).$

Further, we couldn't have $DTIME(2^{n}) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$ because by padding we would get $DTIME(2^{(c^{\prime}+\epsilon)n}) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$.

Further Question: Does anyone have any simple examples of $EXPTIME$-$complete$ problems where we can easily determine the instance size blow-up constant $c$?