Apakah ada algoritma subeksponensial untuk PLANAR SAT yang diketahui?

Beberapa masalah NP-hard yang eksponensial pada grafik umum adalah subeksponensial pada grafik planar karena treewidth paling banyak dan mereka eksponensial dalam treewidth. $4.9 \sqrt{|V(G)|}$

Pada dasarnya saya tertarik jika ada algoritma subeksponensial untuk PLANAR SAT yang NP-complete.

Biarkan menjadi rumus CNF pada variabel dan klausa ke- adalah . $\phi$ $x_i$ $i$ $c_i$

The grafik kejadian p. 5 dari adalah pada simpul dan tepi IFF atau . $G$ $\phi$ $V(G)=\{x_i\} \cup \{c_i\}$ $(x_i,c_i)$ $x_i \in c_i$ $\lnot x_i \in c_i$

$\phi$ ada di PLANAR SAT jika grafik insiden adalah planar.

Apakah ada algoritma subeksponensial untuk PLANAR SAT dalam hal ? $\phi$

Saya tidak mengecualikan kemungkinan pengurangan SAT ke PLANAR SAT untuk membuat ini mungkin, meskipun SAT masih eksponensial dan subeksponensial karena peningkatan ukuran. $\phi$

graph-theory sat reductions

— joro
sumber

Ada kondisi tambahan dalam definisi PLANAR SAT, variabel harus terhubung dengan siklus melalui mereka. Apa yang telah Anda gambarkan dikenal sebagai PLANAR * SAT.

— domotorp

@domotorp Saya pikir saya kutip dengan benar dan kertas mengklaim grafik itu bipartit. Mungkin di koran lain nama yang sama digunakan untuk hal lain.

— joro

Nah, Anda dapat menerapkan teorema pemisah planar bersama dengan pemrograman dinamis dan menjalankan waktu , di mana adalah jumlah simpul dalam grafik. Saya menganggap Anda menginginkan sesuatu yang lebih baik?

2^{O (\sqrt{n})}

$2^{O( \sqrt{n})}$

n

$n$

— Sariel Har-Peled

@ SarielHar-Peled Anda akan menjadi jawaban, tidak perlu sesuatu yang lebih baik (meskipun lebih baik diterima). Bugs saya formula yang berbeda mungkin memiliki grafik yang sama - meniadakan literal.

— joro

Pengurangan standar dari SAT ke planar SAT menunjukkan bahwa berdasarkan hipotesis waktu eksponensial,

2^{o (\sqrt{n})}

$2^{o(\sqrt{n})}$ tidak mungkin, sehingga algoritma dari komentar Sariel optimal hingga konstanta pada eksponen. (Ini untuk apa yang disebut domotorp PLANAR * SAT, tapi saya cukup yakin batas bawah juga dapat ditampilkan untuk PLANAT SAT)

— daniello

Nah, Anda dapat menerapkan teorema pemisah planar bersamaan dengan pemrograman dinamis dan menjalankan waktu , di manaadalah jumlah simpul dalam grafik. Idenya adalah bahwa Anda mencoba semua tugas yang mungkin untuk simpul variabel pada pemisah, dan semua variabel yang disebutkan dalam klausa di pemisah (dengan asumsi masing-masing klausa memiliki jumlah variabel konstan). $2^{O(\sqrt{n})}$ $n$

Jika simpul klausa besar, maka Anda harus menjadi sedikit lebih pintar - Anda harus menebak apakah akan menetapkannya ke subproblem sisi kiri atau kanan. Detail untuk hal-hal seperti itu cenderung berantakan dan tidak langsung, jadi saya tidak akan memberikan lebih banyak detail. Saya pikir makalah asli oleh Lipton dan Tarjan memecahkan masalah yang sama menggunakan ide yang sama, jika ingatan saya benar.

— Sariel Har-Peled
sumber

k

$k$

2^{O (k)} p o l y (| ϕ |)

$2^{O(k)} poly(|\phi|)$

n

$n$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

H

$H$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

H

$H$

n

$n$

m

$m$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

O (\sqrt{n + m})

$O(\sqrt{n+m})$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

n

$n$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

Ini juga latihan 41 dari Algoritma Tepat untuk Woeginger 2003 untuk Masalah NP-Hard: Sebuah Survei . dx.doi.org/10.1007/3-540-36478-1_17

— András Salamon