Biarkan menjadi kebalikan dari . . Saya mengklaim bahwa .α k A 1 ( x ) = 2 x , A 2 ( x ) = 2 x , ... k - 1 ( x ) = A x ( x )AkαkA1(x)=2x,A2(x)=2x,…k−1(x)=Ax(x)
Karena , dan karena , . Akibatnya .∀ z , α y ( z ) > α x ( z ) α y ( A x ( x ) ) > α x ( A x ( x ) ) = x k ( A x ( x ) ) = xx=αx(Ax(x))∀z,αy(z)>αx(z)αy(Ax(x))>αx(Ax(x))=xk(Ax(x))=x
Sekarang perhatikan nilai . Menurut definisi , ini adalah . Kita tahu bahwa , jadi . Saya mengklaim bahwa . . Sekarang , jadi . Karena , , jadi . Dengan demikian,α min z { α z ( A n ( n ) ) ≤ 3 } α n ( A n ( n ) ) = n α ( A n ( n ) ) > n α ( A n ( nα(k−1(n))=α(An(n))αminz{αz(An(n))≤3}αn(An(n))=nα(An(n))>nα n + 1 ( A n ( n ) ) = 1 + α n + 1 ( n ) α ( n ) = min z { α z ( n ) ≤ 3 } α α ( n ) ( n ) ( n ) ≤ 3 n + 1 > α ( n )α(An(n))≤n+2αn+1(An(n))=1+αn+1(n)α(n)=minz{αz(n)≤3}αα(n)(n)≤3n+1>α(n)α n + 1 ( A n ( n ) ) ≤ 4 α n + 2 ( A n ( n ) ) = 1 + α n + 2 ( α n + 1 ( n ) ) ≤ 1 + α n + 2 ( 4 ) ≤ 3αn+1(n)≤3αn+1(An(n))≤4αn+2(An(n))=1+αn+2(αn+1(n))≤1+αn+2(4)≤3.
Jadi, kita memiliki , jadi dan pada dasarnya sama.k αn<α(k−1(n))≤n+2kα