Jalur sederhana pada dag dengan tepi mundur

Apa kompleksitas dari masalah berikut ( P? NP-hard?): $\in$

Input: grafik asiklik langsung , satu set tepi mundur , dan dua node dan . $D=(V,E)$ $E'\subset V\times V$ $s$ $t$

Pertanyaan: Misalkan menunjukkan grafik yang dibentuk dengan menambahkan ke tepi dari . Apakah ada jalur sederhana dari ke di yang menggunakan setidaknya satu ujung ke belakang? $G=(V,E\cup E')$ $D$ $E'$ $s$ $t$ $G$

Catatan: 0) Lintasan sederhana adalah lintasan di mana tidak ada simpul yang diulang, Tepi mundur adalah tepi yang bertentangan dengan urutan parsial yang tersirat oleh DAG. 1) masalahnya mudah jika kita meminta jalur sederhana untuk menggunakan tepat satu tepi mundur (atau angka konstan) dengan reduksi sepele ke masalah jalur terputus-putus, yang mengakui solusi PTime sederhana dalam DAG ( Perl dan Shiloach, JACM'78 ) 2) masalah jalur terputus-putus adalah NP-lengkap dalam grafik umum ( Fortune et al., TCS'80 ).

graph-algorithms time-complexity disjoint-paths

— Joseph Stack
sumber

Hal ini pasti tidak optimal, tapi itu sudah cukup untuk menunjukkan bahwa masalah Anda di P (kecuali saya salah paham sesuatu): biarkan

menjadi tepi

; menerapkan algoritma jalur terpendek dari

ke grafik

e_{1}, . . ., e_{m}

$e_1,...,e_m$

E

$E$

s

$s$

t

$t$

G_{i} = (V, E^{'} \cup ⋃_{j = 1}^{i} {e_{j}})

$G_i = (V, E' \cup \bigcup_{j=1}^i \{ e_j \} )$ untuk

. Dengan kata lain, terus tambahkan tepi yang diambil dari

ke grafik

hingga Anda menemukan jalur dari

i = 1, 2, . . ., m

$i = 1,2,...,m$

E

$E$

G^{'} = (V, E^{'})

$G' = (V, E')$

s

$s$

t

$t$

— Marzio De Biasi

Marzio: tetapi bagaimana jika jalan yang Anda temukan hanya menggunakan tepi di

, dan tidak ada di

? Mungkin masih ada jalan yang berbeda yang juga mencakup tepi

E

$E$

E^{'}

$E'$

E^{'}

$E'$

— David Eppstein

Apa yang sangat menjengkelkan tentang masalah Anda adalah bahwa masalah terkait berikut mudah dilihat sebagai NP-hard: diberi grafik dan dua pasangan simpul (s, t), (s ', t'), untuk menentukan apakah ada simpul-disjoint jalur dari s ke t dan dari s 'ke t', bahkan ketika t = s ', dan bahkan pada grafik yang merupakan gabungan dari dua DAG. Namun, ini sepertinya tidak membantu untuk pertanyaan yang Anda ajukan.

— a3nm

Disjoint paths problem adalah W [1] -hard bahkan pada DAG, dan ini adalah pekerjaan rumah untuk menunjukkan bahwa itu NP-Hard dalam DAGs. Algoritma Shiloach adalah untuk dua masalah jalur terputus-putus, dan dalam cara yang agak mirip bekerja untuk masalah jalur terputus-putus dalam DAGs tetapi membutuhkan waktu n ^ k. Tetapi setidaknya mengakui algoritma XP untuk masalah Anda.

— Saeed