Apakah ada topik dalam CS teoretis yang lebih tentang matematika murni?

11

Saya seorang mahasiswa pascasarjana dalam ilmu komputer teoretis, dan khususnya, algoritma perkiraan. Sekarang saya menemukan bahwa saya lebih tertarik pada matematika murni (saya dapat mengatakan ini karena saya tampaknya lebih menikmati kursus matematika daripada kursus CS). Saya ingin bertanya apakah ada bidang dalam ilmu komputer teoretis yang cukup banyak matematika murni (lebih tepatnya, bidang yang menarik dalam matematika murni sendiri tanpa mempertimbangkan aplikasi untuk CS), atau jika saya perlu pertimbangkan peralihan besar. Saya sudah dua setengah tahun mengikuti program ini, jadi saya tidak yakin apakah peralihan akan menjadi ide bagus saat ini.

Satu-satunya hal yang dapat saya temukan adalah grafik teori minor, dari menelusuri daftar penerimaan konferensi top. Tapi itu tidak dihitung sebagai 'area' bagi saya yang bisa saya fokuskan.

reference-request soft-question

— lensa ilmiah
sumber

3

Setiap bidang ilmu komputer yang melibatkan matematika murni cenderung lebih termotivasi oleh ilmu komputer daripada matematika murni. Pertimbangkan Hamiltonian Cycles: apa yang bisa lebih murni matematika daripada peduli tentang siklus yang melintasi seluruh simpul grafik? Jika ini memiliki koneksi ke logika, apakah ini masih lebih baik dari perspektif matematika murni? Namun bagaimana Anda bisa lebih mengakar dalam CS daripada merenungkan HAMCYCLE?

— Niel de Beaudrap

5

"Saya bisa mengatakan ini karena saya tampaknya lebih menikmati kursus matematika": Saya tidak berpikir ini memberikan ide yang cukup baik tentang apa yang mengganggu Anda dalam TCS untuk menjawab pertanyaan Anda. Ada banyak hal yang menarik bagi TCS dan komunitas matematika, tetapi pertanyaan yang diajukan biasanya sedikit berbeda. Juga tidak jelas bagi saya mengapa grafik teori minor bukan bidang yang bisa Anda fokuskan?

— Sasho Nikolov

5

Bagaimanapun, beberapa ide: embed metrik; Analisis Fourier pada kelompok abelian terbatas; Markov berantai pada ruang keadaan diskrit / terbatas.

— Sasho Nikolov

Contoh

— vzn

Mengenai risiko beralih, mungkin Academia stack Exchange akan lebih cocok?

— Clément

12

Berikut adalah tiga bidang lagi yang sesuai dengan kriteria Anda.

Teori kategori . Ini jelas menarik bagi sebagian besar bidang matematika murni, tetapi juga sangat berpengaruh dalam teori bahasa pemrograman (fungsional, berurutan).
Logika , khususnya teori pembuktian. Koneksi dengan ilmu komputer terlalu banyak untuk disebutkan, tetapi logika bukan hanya bidang matematika murni yang kaya, tetapi juga fondasi matematika.
Teori bilangan , "ratu matematika", yang dianggap tanpa aplikasi ... sampai kriptografi muncul.

— Martin Berger
sumber

note re logic lihat khususnya teori kompleksitas deskriptif (wikipedia)

— vzn

Saya tidak yakin bahwa teori kategori (khususnya yang digunakan dalam CS) menarik bagi sebagian besar bidang matematika di tingkat penelitian, bahkan jika itu digunakan sebagai bahasa dasar di beberapa bidang. Sebagai contoh, meskipun teori kategori jelas muncul pada tingkat penelitian dalam (beberapa) geometri aljabar dan teori representasi, jenis teori kategori sangat berbeda dari yang digunakan dalam ilmu komputer, sejauh yang saya tahu.

— Joshua Grochow

1

@ JoshuaGrochow Itu sebagian benar, tapi itu sebagian karena sedang dalam proses. Ada petunjuk menggiurkan yang mengarah ke integrasi yang lebih dalam: (1) Yayasan Voevodsky yang univalen mencoba dan menyatukan ide jalur dalam teori homotopy dengan bukti dalam logika; (2) teori-teori coalgebraic dari bilangan real oleh Pavlovic et al; (3) dasar kategoris mekanika kuantum, lihat misalnya "Fisika, Topologi, Logika dan Komputasi: A Rosetta Stone" oleh Baez and Stay.

— Martin Berger

9

Ya: Teori grafik, geometri komputasi, teori kompleksitas, kombinatorik adalah hal-hal yang saya teliti di CS. Ruang vektor dan teori ukuran bisa berguna dalam pembelajaran mesin teoretis juga.

Ada banyak matematika murni yang digunakan dalam CS teoretis, tetapi mereka tidak mencapai berita sesering AI dan pembelajaran mesin, itulah sebabnya Anda tidak terlalu banyak mendengarnya.

Saya pribadi beralih ke CS dari fisika dan matematika murni (ya, seperti matematika aljabar abstrak), dan tidak pernah berhenti menemukan masalah yang menarik.

— Keng
sumber

1

Dan saya akan menambahkan Geometri Diskrit ke daftar ini.

— Sariel Har-Peled

7

Teori kompleksitas geometris sangat "matematis" dan banyak simpatisan utamanya adalah lebih banyak ahli matematika. lihat misalnya Teori Kompleksitas Geometrik: pengantar untuk geometer / Landsberg
Teori grup sedang terhubung ke TCS dalam banyak cara mendalam misalnya dalam studi masalah kata, isomorfisma, dan ketidakpastian. lihat misalnya MASALAH KATA DAN MASALAH ISOMORFISME UNTUK KELOMPOK / Stillwell
beberapa teori automata sangat matematika misalnya sambungan semigroups untuk transduser negara yang terbatas dll lihat misalnya Yayasan Matematika dari Automata Teori / Pin

— vzn
sumber

2

Mengapa kutipan di sekitar "matematika"?

— Joshua Grochow

di beberapa daerah mungkin sulit untuk membedakan "(T) CS" konten dari "matematika" sebagai pertanyaan, akhir kalimat itu harus "peneliti utama [hampir] lebih banyak ahli matematika daripada ilmuwan komputer"; dua bidang perlahan-lahan berbaur dalam banyak cara, ini bisa dilihat selama abad ke-20 & itu terus berlanjut / meningkat di abad ke-21. perpaduan yang sedang berlangsung mungkin layak untuk seluruh buku & beberapa mendekati (misalnya Davis, Engine of Logic: Matematikawan dan Asal-usul Komputer ).

— vzn

Pertanyaannya cukup jelas dalam hal ini: "area yang menarik dalam matematika murni sendiri tanpa mempertimbangkan aplikasi untuk CS." Ini tentu benar untuk banyak, jika tidak sebagian besar, dari pertanyaan matematika yang muncul dalam GCT.

— Joshua Grochow

Inilah ref lain yang tidak dapat dipungkiri dalam teori grup & masalah kata. MENGUBAH MESIN UNTUK MASALAH KATA / Miller

— vzn

7

$\mathbb{B}$ $\mathbb{F}_2$

Sebagai contoh, seseorang menggunakan semigroup (juga grup juga memainkan peran penting) dan banyak hasil pada semigroup terbatas dalam beberapa tahun terakhir pada awalnya dimotivasi oleh teori automata. Semiring juga digunakan (bukan cincin): misalnya, semiring tropis pertama kali diperkenalkan dalam teori automata sebelum digunakan dalam geometri tropis , area baru yang sukses dalam matematika. Topik lain yang terkait dengan automata termasuk teori logika dan model terbatas (pikirkan teorema pohon Rabin), topologi, dualitas dan (kuasi) ruang-seragam dan beberapa teori bilangan (terutama untuk pertanyaan yang berhubungan dengan sistem numerasi dan rangkaian daya formal), teori probabilitas ( terutama rantai Markov) dan teori permainan.

— J.-E. Pin
sumber

B

$\mathbb{B}$

B^{*}

$\mathbb{B}^*$

7

Untuk mengatakan lebih banyak tentang Geometric Complexity Theory (GCT): ini adalah penerapan teori aljabar dan teori representasi menuju program jangka panjang untuk menyelesaikan P versus NP. Pertanyaan yang diajukan dalam GCT cenderung pertanyaan matematika yang mendalam, beberapa di antaranya kembali lebih dari 100 tahun ke pelopor geometri aljabar dan teori representasi - tampaknya tidak ada hubungannya dengan perhitungan, tetapi melalui GCT kita melihat bahwa mereka sebenarnya terkait erat dengan kompleksitas komputasi - dan lainnya yang menimbulkan pertanyaan dan ide baru dalam matematika murni (sekali lagi, geometri aljabar dan teori representasi).

— Joshua Grochow
sumber

4

Bukan sepenuhnya topik CS teoritis tetapi menggunakan banyak hasil dari CS teoretis: Anda mungkin tertarik dengan verifikasi perangkat lunak yang tujuannya adalah untuk memastikan bahwa suatu program melakukan apa yang seharusnya dilakukan, dan tidak ada yang lain. Di antara berbagai teknik dalam topik itu, beberapa di antaranya berorientasi pada matematika. Banyak sistem kritis, khususnya avionik / spasial / nuklir, telah dibuktikan dengan cara itu untuk memastikan mereka bebas bug.

Banyak bidang matematika yang terlibat: logika, teori bukti, teori automata, teori himpunan, ...