Kapan grafik mengakui orientasi di mana ada paling banyak satu jalan?

Pertimbangkan masalah berikut:

Input: grafik sederhana (tidak terarah) .$G=(V,E)$

Pertanyaan: Apakah ada orientasi memuaskan properti yang untuk setiap paling banyak ada satu (diarahkan) - berjalan?s , t ∈ V s $G$$s,t \in V$$s$$t$

Ini dapat secara ekuivalen diungkapkan sebagai:

Input: grafik sederhana (tidak terarah) .$G=(V,E)$

Pertanyaan: Apakah ada orientasi asiklik memuaskan properti yang untuk setiap paling banyak terdapat satu ( ) jalur - ?s , t ∈ $G$$s,t \in V$$s$$t$

Apa kelas grafik yang jawabannya adalah "ya"? Bisakah masalah ini diselesaikan dalam waktu polinomial?

Beberapa pengamatan:

1. Jika grafiknya adalah bipartit, maka jawabannya adalah "ya."
2. Jika grafik memiliki segitiga, maka jawabannya adalah "tidak."

Pengamatan pertama mengikuti dengan mengorientasikan tepi dari satu partisi ke yang lain. Pengamatan kedua mudah untuk diperiksa. Ini membawa saya ke dua tebakan yang salah:

1. Jawabannya adalah "ya" jika dan hanya jika grafiknya adalah bipartit. (counterexample: the 5-cycle)
2. Jawabannya adalah "ya" jika dan hanya jika grafiknya bebas segitiga (berlawanan dengan contoh: produk kartesian tepi dengan siklus 5)

Ini NP-lengkap dengan pengurangan dari tidak-semua-sama-3SAT. Untuk melihat ini, perhatikan itu

• Satu-satunya orientasi yang valid dari siklus adalah salah satu di mana tepi berganti orientasi.$4$
• Misalkan adalah jalur tiga-sisi yang tidak diarahkan, dan tambahkan simpul derajat-dua yang berdekatan dengan titik akhir untuk membentuk siklus- . Maka satu-satunya orientasi yang dapat diperluas ke orientasi yang valid dari seluruh siklus adalah yang di mana tidak berorientasi secara konsisten sebagai jalur yang diarahkan.P 5 P 5 $P$$P$$5$$P$$5$$P$

Kami membentuk gadget variabel untuk variabel yang dimiliki oleh klausa yang berbeda dari instance NAE-3SAT, dengan menempelkan bersama dibagikan sepeda di tepi yang dibagikan. Kemudian di masing-masing dari sepeda, tepi berlawanan dengan tepi bersama harus berorientasi secara konsisten dengan semua sepeda lainnya. Kami akan mengaitkan nilai kebenaran variabel dengan orientasi tepi yang konsisten ini. Selain itu, dalam setiap orientasi yang valid dari masing-masing - sepeda ini, tidak ada jalur dari satu siklus ke yang laink k 4 4 4 4 4 $v$$k$$k$$4$$4$$4$$4$$4$$4$-berputar, sehingga gadget ini dapat berinteraksi satu sama lain hanya dalam orientasi tepi mereka dan tidak melalui keberadaan jalur yang lebih panjang.

Kami membentuk gadget klausa untuk klausa 3-variabel dari instance NAE-3SAT dengan menempel bersama tiga dari tepi-sepeda, berlawanan dengan tepi bersama dari tiga gadget variabel yang sesuai, ke jalur 3-tepi dan kemudian menambahkan gelar -dua vertex untuk menyelesaikan menjadi siklus. Seperti dibahas di atas, siklus ini dapat secara konsisten berorientasi jika dan hanya jika ketiga ujungnya tidak semuanya berorientasi sebagai jalur terarah, yang (bila direkatkan dengan benar) benar jika dan hanya jika nilai kebenaran yang terkait dengan orientasi ini tidak semuanya. sama.P P 5 $4$$P$$P$$5$$5$

By the way, dags dengan paling banyak satu - berjalan untuk setiap - pasangan telah dipelajari sebelumnya, seperti "multitrees", "grafik sangat jelas", atau "bakau"; lihat https://en.wikipedia.org/wiki/Multitreet s $s$$t$$s$$t$