Hasil berlawanan untuk sarjana


14

Saya mencari contoh hasil yang bertentangan dengan intuisi orang untuk pembicaraan khalayak umum. Hasil yang jika ditanyakan dari non-pakar "apa yang dikatakan intuisi Anda kepada Anda?", Hampir semua akan salah. Pernyataan hasil harus mudah dijelaskan kepada sarjana dalam cs / matematika. Saya terutama mencari hasil dalam ilmu komputer.

Apa hasil yang paling berlawanan / tidak terduga (dari kepentingan umum) di daerah Anda?




1
Tautan kedua dari Sasho adalah duplikat, bukan?
Huck Bennett

Serupa tapi tidak sama. Saya mencari hasil yang menarik dan berlawanan dengan intuisi untuk cs / matematika umum sarjana bukan peneliti. Misalnya IP = PSPACE tidak akan menjadi jawaban yang bagus.
Anonim

4
Untuk ukuran input yang cukup besar, primality selalu dapat diputuskan dalam waktu kurang dari cara tercepat yang diketahui untuk memiliki peluang yang tidak dapat diabaikan untuk memfaktorkan modulus RSA.

Jawaban:


25

Untuk khalayak umum, Anda harus tetap berpegang pada hal-hal yang dapat mereka lihat . Segera setelah Anda mulai berteori mereka akan memulai ponsel mereka.

Berikut adalah beberapa ide yang dapat dikerjakan untuk melengkapi contoh:

  1. Ada permukaan yang hanya memiliki satu sisi .
  2. Kurva dapat mengisi seluruh kotak .
  3. Ada kurva lebar konstan selain lingkaran.
  4. Dimungkinkan untuk mewarnai pesawat dengan tiga warna sedemikian rupa sehingga setiap titik perbatasan adalah tri-perbatasan .

Jika Anda dapat mengandalkan sedikit pengetahuan matematika, Anda dapat melakukan lebih banyak:

  1. Ada bilangan ganjil sebanyak jumlah alami.
  2. Ada fungsi yang berkelanjutan dan tidak dapat dibedakan di mana-mana .
  3. Ada fungsi yang terputus-putus di semua bilangan rasional dan dapat dibedakan di semua bilangan irasional.f:RR
  4. The Banach-Tarski "paradoks" .

Untuk programmer Anda dapat mencoba:

  1. The mustahil functionals : ada program yang membutuhkan predikat p : stream → bool, di mana streamadalah datatype urutan biner yang tak terbatas, dan kembali truejika dan hanya jika p αadalah trueuntuk semua aliran α(yang uncountably banyak), dan falsesebaliknya.

  2. Dimungkinkan untuk bermain poker melalui telepon dengan cara tepercaya yang mencegah kecurangan.

  3. Sekelompok orang dapat menghitung gaji rata-rata mereka tanpa ada yang mengetahui gaji orang lain.

  4. Ada program yang membangun pohon biner T dengan properti berikut:

    • pohon tidak terbatasT
    • tidak ada program yang melacak jalur tak terbatas di T

paradoks banach-tarski (dan paradoks terkait) ada hubungannya dengan gagasan (dan manipulasi) infinity, sesuatu yang bahkan ahli matematika profesional bisa salah (atau tidak setuju banyak tentang hal itu) :)
Nikos M.

4
Setuju, tapi itu adalah jenis teorema kita yang menarik minat orang. Ini memberi mereka sentakan dan membuat mereka meragukan intuisi mereka sendiri tentang ketidakterbatasan.
Andrej Bauer

17

Satu ide adalah sesuatu yang sederhana dari algoritma streaming . Mungkin kandidat terbaik adalah algoritma mayoritas. Katakanlah Anda melihat aliran angka , satu demi satu, dan Anda tahu satu angka terjadi lebih dari separuh waktu, tetapi Anda tidak tahu yang mana. Bagaimana Anda dapat menemukan nomor mayoritas jika Anda hanya dapat mengingat dua angka sekaligus ? Jawabannya adalah algoritma Misra-Gries.s1,,sn

Pada setiap langkah Anda menyimpan angka dari arus dan penghitung frekuensi f . Pada awalnya Anda mengatur x ke angka pertama aliran dan menginisialisasi frekuensi f ke 1. Lalu setiap kali Anda melihat nomor baru s i , Anda memeriksa apakah x = s i . Jika x = s i , naikkan f ke f + 1 , jika tidak turun f ke f - 1 . Jika f = 0 , atur x ke s ixfxfsix=ssayax=siff+1ff1f=0xsidan kembali ke 1 . Setelah elemen terakhir dari aliran, jika ada elemen mayoritas, itu akan sama dengan x .f1x

Gagasan lain adalah permainan terkenal untuk menggambarkan nol bukti pengetahuan . Saya pikir itu karena Oded Goldreich dan mirip dengan bukti nol pengetahuan untuk isomorfisme grafik.

Untuk membuat jawabannya mandiri, berikut ini permainannya. Misalkan Anda ingin meyakinkan teman buta warna Anda bahwa Anda dapat membedakan warna merah dari hijau. Teman Anda memiliki dua tumpukan kartu, dan dia tahu satu tumpukan berwarna hijau dan yang lainnya berwarna merah. Dia melakukan hal berikut tanpa Anda melihatnya: dengan probabilitas 1/2 dia menarik satu kartu dari setiap deck, dengan probabilitas 1/4 dia menarik dua kartu dari dek kiri, dan dengan probabilitas 1/4 dia menarik dua kartu dari dek kanan. . Kemudian dia menunjukkan kepada Anda kartu-kartu itu dan menanyakan apakah warnanya sama. Jika Anda tidak buta warna, tentu saja Anda dapat menjawab dengan benar setiap waktu. Jika Anda buta warna, Anda akan gagal dengan probabilitas 1/2. Jadi sekarang jika permainan dimainkan 10 kali, kemungkinan Anda bisa menang setiap kali menjadi buta warna sangat rendah.

Kicker adalah bahwa jika teman Anda tahu dua tumpukan kartu adalah dua warna yang berbeda, tetapi tidak tahu yang mana yang merah dan yang hijau, dia masih tidak akan tahu di akhir ini! Jadi dalam ringkasan:

  1. Ada tempat untuk keacakan dalam bukti.
  2. Anda dapat meyakinkan seseorang bahwa Anda tahu sesuatu tanpa memberi mereka informasi tentang hal itu.

3
Selain Misra-Gries, saya juga berpikir sampling reservoir sederhana tapi bagus.
Juho

1
@ Yao saya setuju. Pertanyaan wawancara populer untuk memulai :).
Sasho Nikolov

13

Volume bola satuan dimensi pertama kali tumbuh seiring n tumbuh ( 2 , π , 4 π / 3 , ) tetapi mulai menurun untuk n = 6 dan akhirnya konvergen ke 0 sebagai n .nn2,π,4π/3,n=60n


1
Dan alasan untuk ini adalah keputusan yang sewenang-wenang untuk mempertimbangkan bidang radius satuan, yang bertentangan dengan parameter panjang lainnya. Secara khusus, volume bola berdiameter 1 menurun dari awal.
Emil Jeřábek mendukung Monica

Ada banyak fakta menyenangkan dan berlawanan tentang geometri dalam dimensi tinggi yang terkait. Misalnya, ambil unit hypercube dan tuliskan bola menyentuh semua sisi. Seberapa jauh sudut hypercube dari bola? (Jawab: Itu menyimpang ke saat dimensi tumbuh. Jari-jari bola adalah 0,5 , tetapi jarak dari pusat ke sudut kubus adalah 0,5 0.5 .)0.5n
usul

10

Hasil kontra intuitif dari teori kompleksitas adalah teorema PCP:

Secara informal, nyatakan bahwa untuk setiap masalah A , ada mesin Turing acak yang efisien yang dapat memverifikasi kebenaran bukti (bukti keanggotaan dalam A ) menggunakan nomor logaritmik bit acak dan hanya membaca jumlah bit konstan dari bukti. Konstanta dapat dikurangi menjadi 3 bit. Oleh karena itu, verifier acak hanya perlu membaca tiga bit dari bukti yang dinyatakan.NPAA


Apa referensi untuk "dapat direduksi menjadi 3 bit"?
Ryan

2
Itu dikenal sebagai teorema PCP 3 bit (atau 3 query) Håstad, dan itu membutuhkan pengorbanan kesempurnaan yang sempurna
Joe Bebel

1
Di sini Anda menemukan informasi lebih lanjut dan referensi ke makalah Håstad: people.csail.mit.edu/madhu/papers/1998/glst.pdf
Mohammad Al-Turkistany

6
@ JoBebel Sebenarnya ada verifier 3-bit dengan kelengkapan sempurna. Verifikasi Hastad adalah "linear": sampel tiga bit dan mengambil XOR mereka. Untuk pemverifikasi seperti itu, Anda harus mengorbankan kelengkapan yang sempurna. BTW, ada bukti PCP yang hanya membaca dua bit (sekali lagi tentu tanpa kelengkapan sempurna). Sebagai contoh, lihat jawaban saya di sini cstheory.stackexchange.com/a/20549/4896
Sasho Nikolov

9

One thing that proves to be counterintuitive for CS undergraduates, is the fact that one can select the i-th order statistics from an unsorted array of n elements in O(n) time. All of the students think they must first necessarily sort the array (in O(n lg n) time).


7

building on MdBs answer/ angle, a classic result of something counterintuitive at the time of discovery in TCS at its foundations is the existence of (un)decidability itself. at the turn of the 20th century Hilbert, mirroring the thinking of other leading mathematicians of the time, thought that mathematics could be systematized (somewhat in the form of what we now recognize as algorithmic) & somewhat via the concept of "finitism" (which has rough parallels to the idea of an algorithm as a finite sequence of steps). he proposed famous open problems along these lines. his (and others) intuition turned out to be wrong in a sort of spectacular way. the counterproof is Godels theorem and Turings Halting problem. both were initially extremely abstract concepts/ results and long, highly technical papers/ arguments only understandable to leading mathematicians of the time, but now are refined to simpler conceptual structures and taught to undergraduates. these were not initially seen as two aspects/face of the same phenomenon but now they are.

also it took close to ~¾ of a century to prove that integer Diophantine equations are undecidable, Hilberts 10th problem. this is counterintuitive in the sense that it was always known that number theory was extremely difficult but the concept that some specific/ identifiable problems in it may actually be "impossible to resolve" was nearly shocking at the time to some. undecidability continues to be a deep challenge in math/ TCS even as we have decades of exponential increases in hardware due to Moores law and yet massive supercomputers that are in a sense still "powerless against it". some aspects of the surprise of undecidability can be found in the book Mathematics, Loss of Certainty by Klein.


2
Turing's paper was not extremely abstract/technical. It's actually quite straightforward and accessible.
Jeffε

1
fine, maybe for you, now, but how many undergraduates do you know who can follow the entire paper? did you follow it as an undergraduate? why are the full actual contents not covered in undergrad classes? why has an entire book been written analyzing that single paper? what about parts that anticipate concepts not discovered until decades later such as curry-howard correspondence, high level programming languages, etc?
vzn

3
Still, "long, highly technical papers/ arguments only understandable to leading mathematicians of the time" is not accurate wrt Turing's paper, which is orders of magnitude more accessible than Godel's papers. This answer is full of non-sequitirs. I cannot see what finitism has to do with Hilbert's program (I am certain he would not have been a finitist). What Moore's law has to do with undecidability is also a puzzle to me. Would you really expect exponentially faster hardware would solve undecidable problems?
Sasho Nikolov

3
why are the full actual contents not covered in undergrad classes? — Not enough time.
Jeffε

1
Fair enough, I did not know about Hilbert's finitism. I was only familiar with modern and much stricter notions of finitism. It would be better if you wrote a good answer rather than refer people to chat, but I somehow doubt you'd follow this advice.
Sasho Nikolov

6

It seems obvious, but from personal experience, the idea that you can estimate the median of a collection of items using a constant number of operations is a little shocking. And if that seems a little too technical, you can always convert it into a statement about polls an elections (you need 1300 people to get a sample with 3% error, regardless of the population size).

Related to this is the birthday paradox of course.


5

Perhaps a good example (not directly related to computational complexity) is the Turing universality of simple computational models.

For example the rule 110 is efficiently (weakly) universal:

Given an (infinite) array of 0-1 (white-black) cells properly initialized and the simple substitution rules:

enter image description here

we have a "working computer"! :-)

For the definition of "weakly" and "efficient", and for other examples of simple universal Turing machines look at: Turlough Neary, Damien Woods; The complexity of small universal Turing machines: a survey.

Another puzzling example is the Turing completeness of the FRACTRAN "programming language":

  • the "program" is a list of fractions: (p1/q1,p2/q2,...,pn/qn);
  • given an input n find the first qi that divides n and replace nnpiqi;
  • repeat the previous step until no qi divides n.

With a suitable encoding of the input n, FRACTRAN can simulate any Turing machine.

You can also use other models, like cyclic tag systems, ant-automata, ....
The not-so-intuitive idea is that "computation" is hidden almost everywhere ... Wolfram wrote 1192 pages filled with figures and text to better express that idea in his A New Kind of Science (yes... yes... despite some critical reviews I finally bought a hard-copy of it :-)


3

A few good candidates off the top of my head:

  • Every NFA has an equivalent DFA

  • There exists a finite field of size p or pi where iN and i>0.

  • Public key cryptography

    • Calling to a function with encrypted arguments and receiving the desired result without revealing information about your inputs

    • RSA encrpytion

  • Reed-Solomon codes

  • Countability

    • |N|=|Z|=|N×N|=|Q|

    • The set of elements in the language {0,1} is countable, but R is uncountable (Cantor's diagonalization)

    • Cantor's Theorem: |S|<|P(S)|

  • On a more philosophical level, it astonished me that Turing machines accurately define computation

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.