Kondisi yang memadai untuk runtuhnya Polinomial Hierarchy (PH)

Apa saja (tidak terkenal) pernyataan bahwa jika benar, PH harus runtuh?

Balasan yang berisi pernyataan tingkat tinggi pendek dengan referensi dihargai. Saya mencoba mencari balik tanpa banyak hasil.

Ada (semakin banyak) hasil kompleksitas parameterisasi di mana keberadaan kernelisasi berukuran polinomial menyiratkan runtuhnya PH ke level ketiga. Teknik sentral diberikan dalam [1], membangun pekerjaan sebelumnya (dirujuk dalam [1]).

Sebagai contoh sederhana, masalah -Path adalah versi parameter dari masalah Longest Path:$k$

$k$ -Path G k k G k
Instance : Grafik dan integer . Parameter : . Pertanyaan : Apakah berisi jalur panjang ?$G$$k$
$k$
$G$$k$

Masalah ini ada di FPT (dengan algoritma yang agak praktis), tetapi pada [2] mereka menunjukkan bahwa jika ia memiliki kernel berukuran polinomially (dalam ), maka PH akan runtuh menjadi . (Presentasi saat ini biasanya diutarakan sebagai hasil kernalisasi negatif kecuali NP coNP / poly atau coNP NP / poly, jadi mencari sesuatu seperti "tanpa kernel polinomial kecuali" menjaring banyak hasil.)Σ P 3 ⊆ $k$$\Sigma^{P}_{3}$$\subseteq$$\subseteq$

Referensi

1. HL Bodlaender, BMP Jansen, dan S. Kratsch, "Kernelisasi menurunkan batas berdasarkan komposisi silang", SIAM J. Discrete Math., 28 (2014), hlm. 277–305. [versi arXiv]
2. HL Bodlaender, RG Downey, MR Fellows, D. Hermelin, "Tentang masalah tanpa kernel polinomial", Jurnal Ilmu Komputer dan Sistem, 75 (8): 423-434. 2009. [Versi yang diinangi oleh Stanford]

Berikut ini adalah kondisi lain yang menarik di mana hierarki Polinomial runtuh ke tingkat ketiga: Misalkan bahasa NP-lengkap memiliki pengurangan sendiri secara acak (non-adaptif), Kemudian hirarki polinom runtuh menjadi . Untuk referensi: Lihatlah Catatan Luca Trevisan . (Teorema 67)$\Sigma_{3}^{P}$

Kondisi menarik lainnya adalah:

Kita tahu bahwa kira-kira adalah dalam B P P N P (Sekarang B P P dalam Σ P 2 membuat perkiraan # 3 S A T dalam Σ P 3 ).$\#3SAT$$BPP^{NP}$$BPP$$\Sigma_2^{P}$$\#3SAT$$\Sigma_3^{P}$

Juga, teorema Dengan Toda, .$PH \subseteq P^{\#P}$

Menggabungkan keduanya, kita dapatkan: Jika mendekati sama dengan menghitung # 3 S A T tepatnya, maka Hirarki Polinomial runtuh.$\#3SAT$$\#3SAT$

Runtuhnya PH tersirat oleh runtuhnya hierarki Boolean . Hasil asli adalah karena Kadin [1]; itu disempurnakan oleh Chang dan Kadin [2] untuk menunjukkan bahwa

Referensi:

[1] Jim Kadin, Hirarki waktu polinomial runtuh jika hierarki Boolean runtuh , SIAM Journal on Computing 17 (1988), no. 6, hlm. 1263-1282, doi: 10.1137 / 0217080 .

[2] Richard Chang dan Jim Kadin, Hirarki Boolean dan hierarki polinomial: koneksi yang lebih dekat , SIAM Journal on Computing 25 (1996), no. 2, hlm. 340–354, doi: 10.1137 / S0097539790178069 .

$\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{NP}=\mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$

$L \in \mathsf{NP}$$\varphi$$\varphi$$x$$(\varphi,x) \in L$$\varphi$ $x$$(\varphi,x) \in L$$\mathsf{PH}$

Formalisasi lain adalah:

$\mathsf{NPMV} \subseteq_c \mathsf{NPSV}$$\mathsf{PH}$

$A := \forall i , \Sigma^{P}_{i} \neq \Pi^{P}_{i}$$\mathbb{PH}$$A \implies B$

$\bar{B} \implies \bar{A}$$\mathbb{PH}$

1. $\mathbb{PH}$
2. $\mathbb{PH}$

$\mathbb{PH}$

Berikut adalah beberapa yang ringkas:

1. $PSPACE \subseteq P/poly$
2. $EXP \subseteq P/poly$
3. $NP \subseteq P/log$