Dua Varian NP

Berikut adalah dua variasi definisi NP. Mereka (hampir pasti) mendefinisikan kelas kompleksitas yang berbeda, tetapi pertanyaan saya adalah: adakah contoh alami masalah yang cocok dengan kelas-kelas ini?

(Ambang batas saya untuk apa yang dianggap alami di sini sedikit lebih rendah dari biasanya.)

Kelas 1 (superclass NP): Masalah dengan saksi ukuran polinomial yang membutuhkan waktu superpolinomial tetapi subeksponensial untuk memverifikasi. Untuk konkret, katakanlah waktu . Ini setara dengan kelas bahasa yang dikenali oleh mesin nondeterministic yang membutuhkan waktu tetapi hanya dapat membuat tebakan poli (n) nondeterministik. $n^{O(\log n)}$ $n^{O(\log n)}$

Apakah ada masalah alami di kelas 1 yang tidak diketahui / dianggap sebagai atau ? $NP$ $DTIME(n^{O(\log n)})$

Kelas 1 adalah kelas bahasa, seperti biasa. Kelas 2, di sisi lain, adalah kelas masalah relasional:

Kelas 2: Relasi biner R = {(x, y)} ada di kelas ini jika

Ada p polinomial sedemikian sehingga (x, y) dalam R menyiratkan | y | paling banyak p (| x |).
Ada poly (| x |) -waktu algoritma A sedemikian rupa sehingga, untuk semua input x, jika ada ay sedemikian sehingga (x, y) berada di R, maka (x, A (x)) berada di R, dan jika tidak ada y, maka A (x) menolak.
Untuk setiap algoritma poli (| x |) -waktu B, ada banyak pasangan tanpa batas (x, w) sehingga B (x, w) berbeda dari R (x, w) (di sini saya menggunakan R untuk menunjukkan karakteristiknya sendiri. fungsi).

Dengan kata lain, untuk semua contoh, beberapa saksi mudah ditemukan jika ada. Namun tidak semua saksi mudah diverifikasi.

(Perhatikan bahwa jika R berada di kelas 2, maka proyeksi R ke faktor pertamanya adalah dalam P. Ini yang saya maksudkan dengan mengatakan bahwa kelas 2 adalah kelas masalah relasional.)

Apakah ada masalah relasional alami di kelas 2?

— Joshua Grochow
sumber

Saya tidak yakin dengan pertanyaan itu. Apakah Anda menginginkan masalah yang jelas ada di salah satu kelas tetapi tidak di yang lain?

— Lev Reyzin

Tidak. Untuk setiap kelas, saya bertanya-tanya secara terpisah apakah ada masalah alami yang masuk ke dalam kelas tetapi tidak diketahui cocok dengan kelas kompleksitas standar lainnya. Sebagai contoh, saya ingin tahu apakah ada masalah alami di kelas 1 yang tidak diketahui dalam NP.

— Joshua Grochow

Saya pikir Anda ingin menulis ulang kondisi 2 untuk Kelas 2, karena jika tidak A dapat menjadi algoritma sepele yang selalu ditolak. Deskripsi verbal Anda di bawah ini tampaknya lebih masuk akal.

— Andy Drucker

Untuk Kelas 2, satu contoh yang agak konyol adalah R (p, a) = {p adalah bilangan bulat polinomial, a berada dalam kisaran p, dan | a | = O (poli (| p |)}. R berada di kelas 2 tetapi tidak dapat diputuskan

— Andy Drucker

Andy - mengapa tidak memposting itu sebagai jawaban, bukan komentar?

— Joshua Grochow

Jawaban:

Untuk Kelas 2, satu contoh yang agak konyol adalah

R (p, a) = {p adalah bilangan bulat polinomial, a berada dalam kisaran p, dan | a | = O (poli (| p |)}.

R ada di Kelas 2 tetapi tidak dapat dipastikan.

— Andy Drucker
sumber

Sebelumnya saya pikir ini benar tetapi sekarang saya sudah bingung sendiri. Biarkan r menjadi ikatan poli, dan misalkan p menjadi bilangan bulat poli. Lalu

terbatas, di mana | p | menunjukkan bit-length dari deskripsi p. Jadi saya pikir masalahnya adalah decidable, tetapi masih tampak sulit karena batas umum terbaik pada set ini adalah (saya pikir) eksponensial di | p |.

{x : | p (x) | \leq r (| p |)}

$\{x : |p(x)| \leq r(|p|)\}$

— Joshua Grochow

@ Yosua: Saya tidak mengerti komentar Anda. Tetapi saya harus mengklarifikasi, maksud saya

untuk menjadi polinomial multivarian. Kemudian pengaturan

, dan menanyakan apakah

berlaku, menanyakan apakah

memiliki solusi dalam bilangan bulat. Ini adalah masalah ke-10 Hilbert, dan masalahnya tidak dapat dipastikan.

p

$p$

a = 0

$a = 0$

R (p, a)

$R(p, a)$

p = 0

$p = 0$

— Andy Drucker

Ah iya. Begitulah cara saya meyakinkan diri saya sebelumnya juga :). Terima kasih.

— Joshua Grochow

Saya akan meminta Anda sedikit menjelaskan kondisi saksi di kelas 1. Tampaknya masalah apa pun yang dibatasi dengan tepat dari co-NP tampaknya akan melakukan trik, apakah ini yang Anda maksud?

$\log n$

— Magnus Wahlström
sumber

n^{O (\log n)}

$n^{O(\log n)}$

N P

$NP$

N P

$NP$

D T I M E (n^{O (\log n)})

$DTIME(n^{O(\log n)})$ (Saya akan memperbarui pertanyaan yang sesuai). Saya bertanya-tanya apakah versi dari masalah parametrized lain mungkin berhasil, tetapi saya tidak terlalu terbiasa dengan kompleksitas parametrized.

— Joshua Grochow

$f$

$f(x_1,x_2,\ldots, x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m)$

$\exists x \forall y f(x_1,x_2,\ldots, x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m)$

Mungkin tidak dalam QP karena dapat mengekspresikan semua masalah dalam NP, dan mungkin tidak dalam NP karena dapat mengekspresikan semua masalah dalam co-NTIME (polylog).

— Robin Kothari
sumber

f

$f$

n + m

$n+m$

x_{i}

$x_i$

y_{j}

$y_j$

Ya, saya kira itu akan berhasil.

— Robin Kothari