Bisakah kelas grafik herediter berisi hampir semua, tetapi tidak semua, grafik n-vertex?

10

Biarkan $Q$ menjadi kelas turun-temurun dari grafik. (Herediter = ditutup sehubungan dengan mengambil subgraphs diinduksi.) Misalkan $Q_n$ menyatakan himpunan $n$ grafik -vertex di $Q$ . Katakanlah $Q$ berisi hampir semua grafik, jika fraksi dari semua grafik $n$ -vertex yang jatuh dalam $Q_n$ mendekati 1, seperti $n\rightarrow\infty$ .

Pertanyaan: Mungkinkah grafik turunan kelas $Q$ berisi hampir semua grafik, tetapi untuk setiap $n$ setidaknya ada satu grafik yang tidak ada dalam $Q_n$ ?

graph-theory

— Andras Farago
sumber

10

Jawabannya adalah tidak - untuk tetap $Q$ biarkan $t$ menjadi jumlah simpul dalam grafik terkecil $H$ tidak $Q$ . Sekarang, pertimbangkan $n$ jauh lebih besar dari $t$ . Untuk grafik acak pada $n$ simpul, probabilitas bahwa $t$ simpul pertama menginduksi $H$ hanya bergantung pada $t$ . Mempartisi set vertex menjadi $n/t$ disjoint set ukuran $t$ dan mempertimbangkan probabilitas bahwa tidak ada set yang sama dengan $H$ menunjukkan bahwa probabilitas berada di $Q$ cenderung $0$ sebagai $n$ bertambah.

— daniello
sumber

5

Ini membuktikan lebih kuat bahwa setiap kelas herediter nontrivial mengandung sebagian kecil dari semua grafik yang menyusut sebagai

. Dengan partisi

ke dalam banyak tepi-disjoint

's dan menggunakan argumen yang sama itu harus mungkin untuk memperkuat ini menjadi sesuatu yang lebih seperti

.

\exp - c n

$\exp -cn$

K_{n}

$K_n$

K_{t}

$K_t$

\exp - c n^{2}

$\exp -cn^2$

— David Eppstein

@Andras Farago: Tidak ada jawaban juga dapat secara langsung disimpulkan dari hasil yang diketahui pada dugaan Erdos-Hajnal [ en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80809393Hajnal_conjecture] . Batas yang diperoleh tidak sebaik (tampaknya Anda hanya mendapatkan sebagian kecil dari

.

\exp (- \exp (c \sqrt{\log n}))

$\exp(-\exp(c \sqrt{\log n}))$

— Louis Esperet

1

@ David Eppstein: Saya pikir

adalah persis apa yang Anda dapatkan dengan menerapkan secara rekursif (

kali) hasil klasik berikut. Jika ada bidang projektif dari order

maka edge-set

dapat dipartisi menjadi

salinan edge-disjoint

.

\exp - c n^{2}

$\exp -cn^2$

\log \log n

$\log \log n$

q

$q$

K_{q^{2}}

$K_{q^2}$

q (q + 1)

$q(q+1)$

K_{q}

$K_q$

— Louis Esperet

10

$C$ $C_n$ $C$ $n$ $C$ $|C_n|$ $G$ $\lim_{n\to \infty} |Q_n|/|G_n| = 1$ $Q$

Karena batas selalu 0 untuk herediter , pertanyaan mendasar adalah bagaimana fungsiitu sendiri berperilaku. Misalkan menunjukkan jumlah partisi integer , di mana . Ternyata kecepatan "melompat": baikdibatasi secara polinomial, atau sebaliknya . $Q$ $|Q_n|$ $p(n)$ $p(n) = 2^{\Theta(\sqrt{n})}$ $|Q_n|$ $|Q_n| = \Omega(p(n))$

József Balogh, Béla Bollobás, Michael Saks dan Vera T. Sós, Kecepatan tanpa label dari properti grafik herediter , Jurnal Teori Kombinatorial, Seri B, 99 9-19, 2009. doi: 10.1016 / j.jctb.2008.03.004 ( pracetak )

— András Salamon
sumber