Jumlah kejadian variabel terbatas dalam 1-in-3 SAT

Adakah hasil yang diketahui pada kelas kompleksitas 1-in-3-SAT dengan jumlah kejadian variabel yang terbatas?

Saya datang dengan pengurangan pelit berikut dengan Peter Nightingale, tapi saya ingin mengutip sesuatu jika ini diketahui.

Inilah trik yang kami buat. Ini menunjukkan bahwa 1-in-3-SAT terbatas pada 3 kejadian per variabel adalah NP lengkap dan #P selesai (karena 1-in-3-SAT adalah) , sedangkan 3-SAT terbatas pada 3 kejadian dalam P

Katakanlah kita memiliki lebih dari tiga kejadian x. Katakanlah kita perlu 6. Kemudian kita akan memperkenalkan 5 variabel baru x2 ke x6 setara dengan x dan dua variabel baru d1 dan d2 dijamin salah dengan 6 klausa baru berikut:

x  -x2 d1
x2 -x3 d1
x3 -x4 d1
x4 -x5 d2
x5 -x6 d2
x6 -x  d2

Jelas kami mengganti setiap kemunculan x setelah yang pertama dengan xi untuk beberapa i. Itu memberi tiga kemunculan masing-masing xi dan d.

Di atas mengatur masing-masing di ke false dan semua xi ke nilai yang sama. Untuk melihat ini, x harus benar atau salah. Jika itu benar maka klausa pertama menetapkan x2 benar dan d1 salah, dan kemudian ini menyebar ke bawah petunjuk. Jika x salah maka klausa terakhir menetapkan x6 salah dan d2 salah dan merambat ke atas klausa. Ini jelas sangat pelit sehingga menjaga penghitungan.

Setahu saya "batasan" saat ini telah diselesaikan di:

Stefan Porschen, Tatjana Schmidt, Ewald Speckenmeyer, Andreas Wotzlaw: XSAT dan NAE-SAT dari kelas CNF linier. Matematika Terapan Terpisah 167: 1-14 (2014)

Lihat juga Tesis Schmidt: Kompleksitas Komputasi SAT, XSAT dan NAE-SAT untuk formula CNF tanduk linier dan campuran

Teorema 29 . XSAT tetap NP-complete untuk - dan - , .C N F l + k C N F l k , l ≥ $k$$CNF^l_+$$k$$CNF^l$$k, l \geq 3$

(XSAT untuk - persis 1-in-3-SAT di mana setiap variabel muncul persis kali)C N F 3 l = $3$$CNF^3$$l=3$

Perhatikan bahwa teorema ini juga membuktikan kelengkapan NP dari monoton yang lebih kuat ( )$CNF_+$

(Saya mengerti ini pasti jawaban yang terlambat; saya menulis untuk pembaca masa depan)

Ada hasil yang lebih kuat dalam literatur.

Cubic Planar Positive 1-in-3 Kepuasan terbukti NP-lengkap di Moore dan Robson, Hard Tiling Problem dengan Simple Tiles . (Mereka mengatakan 'monoton' daripada 'positif'. Lihat catatan ditambahkan pada akhirnya)

Hasil yang disebutkan lebih kuat daripada hasil dalam tesis Schmidt karena di sini grafik rumus dibatasi menjadi planar. (Kondisi ini sebenarnya lebih kuat: mereka memberikan jenis embedding tertentu yang disebut embedding bujursangkar)

$G_B$$B=(X,C)$$X\cup C$$E:= \{ x_iC_j\ :\ $$x_i$$C_j$$\}$$X$$C$

$B=(X,C)$$X$$C$$X$$G_B$$B$
$X$$C$

Perhatikan bahwa setiap klausa berisi tepat 3 variabel berbeda dan masing-masing variabel muncul tepat 3 klausa.

Lihat tesis Tippenhauer On Planar 3-SAT dan variannya (2016) untuk varian sat yang membatasi jumlah kemunculan variabel.
Catatan: ada beberapa varian yang ditemukan setelah publikasi tesis ini.

Catatan Ditambahkan: Hasil Moore dan Robson membuktikan bahwa Cubic Planar Positive 1-in-3 Satisfiability adalah NP-complete. (Yaitu, rumus boolean bukan hanya monoton, melainkan Positif (yaitu, tidak ada literasi sama sekali)). Sayangnya, dalam banyak makalah awal, istilah 'monoton' digunakan untuk berarti 'positif'. Pengurangan oleh Moore dan Robson tidak memperkenalkan literasi yang dinegasikan. Pengurangan mereka dari Planar 'Monoton' Kepuasan 1-in-3 dalam makalah Laroche, kepuasan Planar 1-in-3 adalah NP-complete . Saya tidak bisa mendapatkan makalah ini, tetapi kemungkinan besar Laroche juga berarti positif dengan mengatakan 'monoton'. Bahkan jika dia tidak bermaksud demikian, kita dapat menggunakan Planar Positive 1-in-3 Satisfiability dari Mulzer and Rote ' sebagai sumber masalah sebagai gantinya.

Lihat jawaban ini untuk pertanyaan di cs.se