Sejauh mana, kemampuan komputasi untuk tugas-tugas sulit membantu dalam menyelesaikan tugas-tugas mudah

Singkatnya, pertanyaannya adalah: sejauh mana, kemampuan komputasi untuk tugas-tugas sulit benar-benar membantu Anda dalam menyelesaikan tugas-tugas mudah. (Mungkin ada berbagai cara untuk membuat pertanyaan ini menarik dan tidak sepele, dan di sini ada satu upaya seperti itu.)

Pertanyaan 1:

Pertimbangkan rangkaian untuk menyelesaikan SAT untuk rumus dengan n variabel. (Atau untuk menemukan siklus Hamiltonian untuk grafik dengan tepi.) $n$

Misalkan setiap gerbang memungkinkan perhitungan fungsi Boolean sembarang pada variabel . Untuk konkret, mari kita ambil . $m$ $m=0.6 n$

Hipotesis waktu eksponensial yang kuat (SETH) menegaskan bahwa bahkan dengan gerbang yang kuat seperti itu kita memerlukan ukuran sirkuit superpolinomial. Faktanya, kita membutuhkan ukuran setidaknya untuk setiap Dalam arti tertentu, gerbang pada fraksi variabel yang merepresentasikan fungsi Boolean yang sangat rumit (jauh melampaui kelengkapan NP) tidak memberi Anda banyak keuntungan. $\Omega (2^{(0.4-\epsilon) n})$ $\epsilon.$

Kami selanjutnya dapat bertanya:

(i) Bisakah kita memiliki sirkuit ukuran ? ? $2^{0.9 n}$ $2^{(1-\epsilon)n}$

Jawaban "tidak" akan menjadi penguatan besar dari SETH. Tentu saja, mungkin ada jawaban "Ya" yang mudah, yang saya lewatkan begitu saja.

(ii) Jika jawaban untuk (i) adalah YA, apakah gerbang yang menghitung fungsi Boolean sewenang-wenang memberikan beberapa keuntungan dibandingkan dengan gerbang yang "hanya" menghitung (mengatakan) fungsi NP sewenang-wenang; atau hanya contoh yang lebih kecil dari SAT itu sendiri?

Upaya Pertanyaan berikutnya untuk meminta sesuatu yang mirip untuk pertanyaan di . $P$

Pertanyaan 2:

Seperti sebelumnya, biarkan dan untuk konkret menempatkan . (Nilai lain dari seperti juga menarik.) Pertimbangkan jenis sirkuit berikut: $m< n$ $m=0.6n$ $m$ $m=n^\alpha$

a) Dalam satu langkah Anda dapat menghitung fungsi Boolean sembarang pada variabel . $m$

b) Dalam satu langkah Anda dapat memecahkan masalah SAT dengan variabel . Atau mungkin rangkaian nondeterministik sewenang-wenang dari ukuran polinomial dalam variabel . $m$ $m$

c) Dalam satu langkah Anda dapat melakukan rangkaian sewenang-wenang di variabel ukuran ( adalah tetap). $m$ $m^d$ $d$

d) Dalam satu langkah Anda dapat melakukan gerbang Boolean biasa.

Mari kita perhatikan pertanyaan menemukan pencocokan sempurna untuk grafik dengan edge. Matching memiliki sirkuit ukuran polinomial. Pertanyaannya adalah apakah eksponen dalam algoritma pencocokan tersebut dapat ditingkatkan ketika Anda berpindah dari sirkuit tipe d) ke sirkuit tipe c), dan dari sirkuit ukuran c) ke sirkuit ukuran b), dan dari sirkuit berukuran b), dan dari sirkuit berukuran b ) ke sirkuit ukuran a). $n$

(Ini mungkin terkait dengan masalah terkenal tentang komputasi paralel atau tentang nubuat.)

cc.complexity-theory dc.parallel-comp

— Gil Kalai
sumber

O ({1.9999}^{n})

$O(1.9999^n)$

c n

$cn$

c

$c$

Rayan sayang, benar, aku merasa lebih nyaman untuk mempertimbangkan kasus yang tidak seragam. Tidak ada jawaban untuk Pertanyaan 1 akan menjadi penguatan besar SETH nonuniform. (Saya pikir SETH yang tidak seragam sebagai penguatan dari SETH, tapi mungkin saya salah.) Mungkin Anda dapat merumuskan kembali Pertanyaan 1 dan 2 untuk algoritma yang seragam. Bagaimanapun, mungkin dengan versi SETH yang kuat dan SETH yang tidak seragam, akan mungkin untuk menemukan contoh tandingan.

— Gil Kalai

n

$n$

.1 n

$.1n$

2^{.9 n}

$2^{.9n}$

n

$n$

.9 n

$.9n$

.1 n

$.1n$

$2^{2^m \cdot s}$ $s$ $s=2^{n-m}$

— Boaz Barak
sumber

Hai, @Boaz Barak. Apakah Anda keberatan jika saya menggabungkan dua akun Anda di situs ini?

— Lev Reyzin

Terima kasih Boaz. Saya kira semangat pertanyaannya adalah ini: Jika Anda pergi jauh di bawah apa yang diperlukan untuk menghitung semua fungsi dapatkah Anda masih menghitung fungsi lengkap NP.

— Gil Kalai