Masalah kompleksitas komunikasi dengan jarak linear

Adakah kompleksitas komunikasi acak yang diketahui (non-sepele) dengan batas bawah untuk masalah kesenjangan alami di mana 1-input secara linear jauh dari 0-input? Artinya, fungsi parsial sedemikian rupa sehingga jarak Hamming antara setiap dan $f:\{0,1\}^{2n} \to \{0,1,*\}$ $(x,y) \in f^{-1}(1)$ linier - dan bahwa memerlukan protokol acak untuk berkomunikasi (katakanlah) $(x',y') \in f^{-1}(0)$ $f$ bit? $\Omega(\sqrt{n})$

(Misalnya, masalah Gap-Hamming-Distance memiliki jarak, sedangkan saya sedang mencarijarak; di manajika $2\sqrt{n}$ $\Omega(n)$ $GHD(x,y) = 1$ danjika $HD(x,y) \ge n/2 + \sqrt{n}$ $GHD(x,y) = 1$ .) $HD(x,y) \le n/2 - \sqrt{n}$

Sunting : Seperti yang ditunjukkan oleh Igor, predikat kompleksitas komunikasi dapat dibuat menjadi masalah dengan jarak linear dengan mengharuskan input dikodekan oleh kode yang baik. Yang menarik bagi saya adalah apakah ada masalah dalam literatur, di mana jarak linear terjadi secara alami (seperti jarak dalam masalah Gap-Hamming-Distance).

reference-request communication-complexity

— Anonim
sumber

Apakah sesuatu seperti Boolean Hidden Matching Problem sesuai dengan tagihan? Itu memang membutuhkan

bit komunikasi (satu arah, acak), dan sepertinya ada jarak linear antara

- dan

keadaan.

Ω (\sqrt{n})

$\Omega(\sqrt{n})$

yes

$\textsf{yes}$

no

$\textsf{no}$

— Clement C.

(atau hampir linier, saya kira, karena input termasuk matriks pencocokan

)

M

$M$

— Clement C.

Clement terima kasih! Justru itulah jenis masalah yang saya cari!

— Anonim

Masalah lain - meskipun dalam model SMP / wasit - pada dasarnya adalah Gap-Hamming-Distance dengan kesenjangan linear dalam

(meskipun input

memiliki ukuran

bukannya

). Lihat Bavarian, Gavinsky, dan Ito '15 , lebih tepatnya Definisi 1.9 dan Teorema 1.8 (bersama dengan Fakta 1.4): kompleksitas komunikasi

dalam model SMP dengan keacakan pribadi adalah

n

$n$

x, y

$x,y$

n \log n

$n\log n$

n

$n$

{G a p I P}_{n}

$\mathsf{GapIP}_n$

\tilde{Ω} (\sqrt{n})

$\tilde{\Omega}(\sqrt{n})$

— Clement C.

Jawaban:

Misalkan menjadi kode koreksi kesalahan dengan jarak linear. Misalkan menjadi fungsi yang kompleksitas komunikasi acaknya besar (katakanlah, $C:\{0,1\}^{n} \to \{0,1\}^{2n}$ $g: \{0,1\}^{n} \times \{0,1\}^{n} \to \{0,1\}$ atau. $\Omega(\sqrt{n})$ $\Omega(n))$

Tentukan menjadi fungsi parsial yang pada codeword dari output , dan hasilnya $f: \{0,1\}^{2n} \times \{0,1\}^{2n} \to \{0,1,*\}$ $C$ $f(x,y) = g(C^{-1}(x),C^{-1}(y))$ $*$ jika setidaknya salah satu dari tidak di . $x,y$ $C$

Jelasnya, kompleksitas komunikasi sama dengan kompleksitas komunikasi , dan memuaskan properti yang untuk setiap dua input berbeda di mana menghasilkan 0 atau 1, jarak di antara mereka adalah linier. $f$ $g$ $f$ $f$

— Igor Shinkar
sumber

Terima kasih, Igor. Sementara, tak perlu dikatakan, masalah yang Anda gambarkan memiliki jarak linear - Saya mencari masalah di mana kesenjangan terjadi secara alami (dalam GHD), daripada secara artifisial (dengan menyandikan input). Apakah ada masalah seperti itu dalam literatur?

— Anonim

$n\log n$ $(x,M,w)\in\{0,1\}^{2n}\times\{0,1\}^{n\times 2n}\times \{0,1\}^{2n}$ $M$ $n\log n$ $\textsf{yes}$ $\textsf{no}$ $\Theta(n)$

$\textsf{BHM}_n$ $\Omega(\sqrt{n})$

[BJK04] Ziv Bar-Yossef, TS Jayram, Iordanis Kerenidis. Pemisahan eksponensial kompleksitas komunikasi satu arah klasik dan kuantum, Prosiding ACM STOC 2004
[KR06] Iordanis Kerenidis, Ran Raz. Kompleksitas komunikasi satu arah dari Masalah Pencocokan Tersembunyi Boolean. Kolokium Elektronik tentang Kompleksitas Komputasi (ECCC) 13 (087) (2006)

— Clement C.
sumber