Kelengkapan injeksi reduksi Karp

Reduksi karp adalah waktu polinomial yang dapat dihitung banyak-satu pengurangan antara dua masalah komputasi. Banyak pengurangan Karp sebenarnya adalah fungsi satu-satu. Hal ini menimbulkan pertanyaan apakah setiap pengurangan Karp bersifat injeksi (fungsi satu-satu).

Apakah ada alam masalah -Lengkap yang dikenal menjadi lengkap hanya di bawah banyak-satu pengurangan Karp dan tidak diketahui lengkap di bawah pengurangan Karp injective? Apa yang kita mendapatkan (dan kalah) jika kita mendefinisikan menggunakan pengurangan Karp injective -completeness? $NP$ $NP$

Satu keuntungan yang jelas adalah bahwa set jarang tidak dapat diselesaikan di bawah pengurangan Karp injeksi.

cc.complexity-theory

— Mohammad Al-Turkistany
sumber

Mengapa Karp menggunakan banyak-satu pengurangan waktu polinomial daripada pengurangan satu-satu? Apakah dia dipengaruhi oleh pengurangan yang digunakan dalam teori komputabilitas?

— Mohammad Al-Turkistany

Saya pikir saya sudah menjawab pertanyaan ini (atau yang berhubungan sangat erat) dalam komentar tentang tanggapan ini: cstheory.stackexchange.com/a/172/129 .

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow Injectivity memberi kita batas yang lebih rendah pada kepadatan set hard disk. Apakah Anda mengetahui adanya masalah NP-complete yang tidak diketahui lengkap dalam pengurangan Karp suntik? Silakan pertimbangkan memposting komentar Anda sebagai jawaban.

— Mohammad Al-Turkistany

Jawaban:

$|f(x)|>|x|$ $f$

$NP$ $P\neq NP$

$NP$

$NP$ $p$ $P\neq NP$
$P\neq NP$

$P\neq NP$

— Andras Farago
sumber

Kebalikan dari fungsi peningkatan panjang adalah penurunan panjang . Atau apakah saya melewatkan sesuatu?

— Emil Jeřábek 3.0

Juga, apakah p-isomorfisme dari masalah NP-lengkap menyiratkan P! = NP karena alasan sepele bahwa bahasa satu elemen tidak isomorfik dengan bahasa dua elemen, atau apakah lebih canggih? Jika Anda mengizinkan bahasa yang terbatas, klaim memiliki bukti langsung yang sederhana, dan hanya membutuhkan suntikan: yaitu, bahasa satu elemen adalah NP-complete di bawah banyak-satu pengurangan jika P = NP, tetapi tidak bisa NP-complete di bawah satu -satu pengurangan.

— Emil Jeřábek 3.0

Kenapa kita harus bersikeras pengurangan suntikan saja? Suntikan tampaknya tidak terhubung dengan tujuan pengurangan, jadi pilihan alami bukanlah menuntutnya. Ada banyak pembatasan sewenang-wenang lainnya yang mungkin diterapkan, tetapi apa gunanya?

— Emil Jeřábek 3.0

Mengapa set berhingga tidak menjadi NP-complete ketika P = NP? Perhatikan bahwa dalam situasi ini, set konyol lainnya adalah NP-lengkap bahkan di bawah pengurangan satu-satu, seperti set semua angka biner ganjil.

— Emil Jeřábek 3.0

@ JoshuaGrochow Kita tidak perlu mendapatkan inv, pengurangan li dari invers untuk menjaga durasinya yang berlawanan. Jika kita mengambil dua bahasa NP-complete, mereka berdua memiliki pengurangan Karp ke yang lain (tetapi pengurangan ini umumnya bukan kebalikan dari satu sama lain). Jika sekarang kita mengasumsikan bahwa setiap pengurangan Karp dapat dibuat inv, li, maka kita memperoleh inv, li pengurangan di kedua arah, sehingga dengan teorema yang dikutip mereka dapat diubah menjadi p-isomorfisme.

— Andras Farago

$\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

Bahkan, bahkan contoh tandingan potensial "tidak wajar" untuk dugaan Isomorfisme - set k-kreatif dari Teorema 2.2 dan Joseph Young - lengkap di bawah satu-satu pengurangan oleh konstruksi.

[Diulang dari komentar saya di sini :] Karena kebanyakan reduksi yang kita buat sebenarnya adalah reduksi one-one, mengapa kita tidak mempelajarinya ketika secara formal lebih kuat dan kita mendapatkan sebagian besar waktu? Saya pikir karena lebih mudah untuk tidak perlu repot membuktikan suntikan, meskipun kita biasanya memilikinya. Dalam pengertian itu, mungkin banyak orang yang melakukan pengurangan adalah semacam "pengurangan Goldilocks", kekuatan yang tepat, kesederhanaan yang tepat untuk pembuktian.

— Joshua Grochow
sumber

Apakah ada penjelasan intuitif tentang kreativitas set?

— Mohammad Al-Turkistany

Terima kasih atas jawabannya. Saya berharap saya dapat menerima dua jawaban.

— Mohammad Al-Turkistany

Sebenarnya, pengurangan injeksi berguna dalam kriptografi. Misalkan Anda memiliki sistem bukti ZK untuk relasi NP R atas bahasa L. Jika Anda ingin membuat bukti ZK untuk relasi NP lain R 'di atas bahasa L', Anda harus menemukan dua fungsi f dan g dengan properti berikut : 1. x milik L 'iff f (x) milik L, 2. Jika (x, w) milik R' maka (f (x), g (x, w)) milik R. 3. Selain itu , f dan g harus dapat dihitung secara efisien.

Properti di atas menyiratkan bahwa jika sistem bukti untuk R lengkap dan suara, sistem bukti untuk R '(didefinisikan dengan cara yang jelas menggunakan fungsi-fungsi di atas untuk mengurangi contoh hubungan dengan yang lain) selesai dan sehat juga.

Bagaimana dengan membuktikan bahwa sistem yang baru juga ZK atau saksi-bisa dibedakan (WI)? Jika f tidak dapat dibalik, Anda dapat membuktikan bahwa sistem bukti yang diperoleh adalah ZK. Kalau tidak, untuk membuktikan bahwa Anda harus mengasumsikan bahwa sistem bukti untuk R adalah ZK input tambahan (bukan hanya ZK). Untuk WI, jika f tidak dapat dibalik, Anda dapat membuktikan bahwa sistem bukti untuk R 'adalah WI. Tanpa fakta bahwa f tidak dapat dibalik, saya tidak yakin apakah Anda dapat membuktikannya

— Vincenzo IOVINO
sumber