Digraf minimum yang setara sehubungan dengan sumber dan sink

Mengingat DAG (disutradarai grafik asiklik) , dengan sumber dan tenggelam . Temukan DAG , dengan sumber dan sink , dengan jumlah tepi minimum sehingga: $D$ $S$ $T$ $D'$ $S$ $T$

Untuk semua pasangan ada jalur dari ke di jika dan hanya jika ada jalur dari ke di . $u \in S, v \in T$ $u$ $v$ $D$ $u$ $v$ $D'$

Salah satu aplikasi ini mewakili satu set keluarga oleh DAG. Untuk representasi seperti itu, setiap sumber adalah variabel di alam semesta dan masing-masing wastafel adalah himpunan dalam himpunan himpunan, dan elemen u dalam himpunan S jika dan hanya jika ada jalur dari titik yang mewakili u ke titik yang mewakili mengatur S.

Apakah masalah ini sudah diketahui? Apakah ada algoritma polinomial untuk masalah ini?

graph-theory graph-algorithms

— Martin Vatshelle
sumber

Saya kira solusinya harus berupa subgraf grafik asli, bukan? Jika ya, saya pikir masalah ini menangkap Set Cover, melalui reduksi standar yang menunjukkan Dir Steiner Tree sulit: Buat titik untuk setiap elemen, titik untuk setiap set, dan tepi terarah (S, u) jika set S mengandung elemen u. Kemudian tambahkan simpul baru dan tepi dari itu ke semua set simpul. Ada jalur dari titik baru ini ke semua sink (elemen simpul). Untuk melestarikan semuanya, kita harus memilih jumlah minimum simpul yang mencakup semua elemen.

— Michael Lampis

Tidak, secara umum saya akan mengatakan itu seharusnya bukan subgraf dari grafik asli. Sumber adalah elemen dan Anda perlu elemen jika dan hanya jika beberapa set berisi elemen itu. Sink adalah set dan Anda tidak dapat menghapus set yang seharusnya Anda wakili sehingga satu-satunya yang dapat dilakukan jika seseorang mulai dari grafik naif di mana semua node adalah sink atau sumber adalah dengan menambahkan simpul dan memindahkan / menghapus tepi.

— Martin Vatshelle

D^{'}

$D'$

D^{'}

$D'$

D

$D$

D^{'}

$D'$

D

$D$

f : V_{D} \to V_{D^{'}}

$f:V_D \to V_{D'}$

D

$D$

D^{'}

$D'$

u

$u$

v

$v$

D

$D$

f (u)

$f(u)$

f (v)

$f(v)$

D^{'}

$D'$

Saya mengklarifikasi pertanyaan, memang maksud saya bahwa sumber dan tenggelam adalah sama. Saya pikir pemetaannya cukup dekat dengan yang sama, satu-satunya cara seseorang bisa memetakan dua sink ke node yang sama adalah jika mereka dapat dijangkau dari set sumber yang sama, yaitu mewakili set yang sama. Satu-satunya cara dua sumber dapat dipetakan ke simpul yang sama adalah jika mereka mencapai wastafel yang sama persis. Jadi saya pikir setelah beberapa preprocessing sederhana dari D masalahnya akan setara.

— Martin Vatshelle

Dag D sebenarnya tidak ada hubungannya dengan masalah, bukan? Anda juga bisa mengambil grafik bipartit antara S dan T sebagai input.

— Emil Jeřábek

$D$

$D'$ $D$ $v$ $G$ $D$ $v$ $D'$ $v$ $D'$

$D'$ $G$ $D'$ $G$

Perhatikan bahwa, bahkan jika dugaan saya berlaku, secara teknis argumen ini tidak membuktikan NP-hardness dari masalah Anda, karena pengurangannya bukan pengurangan Karp- tetapi pengurangan Cook.

— igel
sumber