Mengarahkan multigraf sebagai automata minimal

Diberi bahasa reguler pada alfabet , otomat deterministik minimalnya dapat dilihat sebagai multigraf terhubung langsung dengan out-degree konstandan kondisi awal yang ditandai (dengan melupakan label transisi, status akhir). Kami menjaga keadaan awal karena setiap titik harus dapat diakses darinya.$L$$A$$|A|$

Apakah kebalikannya benar? Yaitu diberi multigraf terhubung langsung dengan derajat keluar konstan dan keadaan awal sedemikian sehingga setiap titik dapat diakses darinya, apakah selalu ada bahasa sedemikian rupa sehingga adalah grafik yang mendasari otomat minimal ?$G$$L$$G$$L$

Misalnya jika itu benar, karena grafik harus berupa "laso" dengan awalan ukuran dan lingkaran ukuran j , dan sesuai dengan otomat minimal L = { a i + n j | n ∈ N } .$|A|=1$$i$$j$$L=\{a^{i+nj}~|~n\in\mathbb N\}$

Motivasi berasal dari masalah terkait yang dihadapi dalam pengurangan decidability, di mana solusinya lebih mudah: mulai dari grafik sederhana yang tidak berorientasi, dan dengan lebih banyak operasi diperbolehkan seperti menambahkan sink. Tetapi saya bertanya-tanya apakah seseorang sudah melihat pertanyaan yang lebih alami ini?

Satu-satunya hal yang terhubung dari jarak jauh yang dapat saya temukan dalam literatur adalah kertas-kertas seperti Complexity of Road Coloring dengan Prescription Reset Words , di mana tujuannya adalah untuk mewarnai multigraf sedemikian rupa sehingga otomat yang dihasilkan memiliki kata sinkronisasi. Namun minimal tampaknya tidak dipertimbangkan.

Pembaruan : Pertanyaan tindak lanjut setelah jawaban Klaus Draeger: apa kerumitan dalam memutuskan apakah grafik berbentuk seperti ini? Kita dapat menebak pelabelan dan secara polinomi memverifikasi minimal automaton, sehingga ada dalam NP, tetapi bisakah kita mengatakan lebih banyak?

Setiap simpul penyerap harus menerima atau tidak (sehingga segala sesuatu atau tidak sama sekali diterima sekali $n$$n$ dimasukkan). Jika grafik memiliki lebih dari dua node penyerap, maka beberapa dari mereka akan berakhir setara untuk setiap pilihan pelabelan dan set penerimaan.

Secara umum, untuk setiap grafik yang terhubung sangat kuat, hanya ada sejumlah terbatas n ( H ) dari berbagai kemungkinan pelabelan dan subset penerima; jika grafik Anda memiliki lebih dari n ( H ) terminal, komponen yang terhubung kuat yang setara dengan H (terlampir di daun pohon, katakanlah), grafik Anda tidak dapat sesuai dengan otomat minimal.$H$$n(H)$$n(H)$$H$

EDIT, mengenai pertanyaan tindak lanjut: Ini kedengarannya sulit. Satu pendekatan yang disarankan oleh argumen saya mungkin terlihat seperti ini:

• Partisi menjadi SCC. Ini murah; O ( | V | + | E | ) menggunakan algoritma Tarjan.$G$$O(|V|+|E|)$
• Urutkan SCC ke dalam kelas isomorfisme. Sayangnya grafik isomorfisma tidak diketahui berada di .$P$
• $\{a,b\}$$a$$b$ ) memberikan automaton yang bisimilar dengan kondisi penyerap tunggal, melanggar minimalitas.
• Perlakukan SCC yang tersisa di DAG dengan cara yang sama, dengan mempertimbangkan yang lebih rendah; Saya agak kabur pada detail bagian ini.

Itu adalah satu langkah yang kompleksitasnya terkenal terbuka, dan langkah lain yang sepertinya memerlukan waktu eksponensial (karena mungkin ada banyak partisi secara eksponensial ke dalam kelas bisimilaritas yang akan dikecualikan saat menentukan automata yang diizinkan). Bisakah kita berbuat lebih baik?