Konsentrasi Eksponensial Ketimpangan untuk momen tingkat tinggi dari Variabel Acak Gaussian

Misalkan menjadi iid salinan variabel acak Gaussian . Diketahui bahwa $X_1,\ldots, X_n$ $n$ $X \sim N(0, \sigma^2)$ Dua hasil ini mengikuti dari ketimpangan konsentrasi variabel acak sub-Gaussian dan sub-eksponensial dan yang kedua adalah ketidaksetaraan tipe Bernstein. Saya ingin tahu apakah ada hasil yang sama untuk momen yang lebih tinggi dari variabel acak Gaussian. Bisakah seseorang memiliki

\begin{aligned} P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{j} | > t) & \leq 2 \exp (c n t^{2}) and \\ P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j}^{2} - E X_{j}^{2}) | > t) & \leq 2 \exp (c n min {t^{2}, t}) . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j \Bigl| >t\Bigr) &\leq 2 \exp( cnt^2)~~\text{and}\\ \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (X_j^2 - \mathbb{E}X_j^2) \Bigl| >t\Bigr) &\leq 2 \exp( cn\min \{t^2, t\}). \end{align}$

Dan lebih umum, untuk variabel acak terpusat

memuaskan

untuk

\begin{aligned} P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j}^{4} - E X_{j}^{4}) | > t) \leq 2 \exp (c n t) ? \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (X_j^4 - \mathbb{E}X_j^4) \Bigl| >t\Bigr) \leq 2 \exp( cnt)? \end{align}$

Y

$Y$

P (| Y | > t) \leq 2 \exp (c t^{α})

$\mathbb{P}(|Y| > t) \leq 2 \exp(c t^{\alpha})$

α > 0

$\alpha > 0$ , Bisa kita mendapatkan ketidaksetaraan eksponensial untuk konsentrasi

? Yaitu, dapatkah kita memiliki

\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}

$\sum_{i=1}^n Y_i$

untuk beberapa

\begin{aligned} P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (Y_{j} - E Y_{j}) | > t) \leq 2 \exp (c n t^{β}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (Y_j - \mathbb{E}Y_j) \Bigl| >t\Bigr) \leq 2 \exp( cnt^\beta) \end{align}$

β > 0

$\beta > 0$

pr.probability st.statistics

— Steve
sumber

$\pm 1$

Untuk pernyataan yang lebih umum, lihat Latihan 7 dalam catatan kuliah Terry Tao ini .

— Yuval Filmus
sumber

Maaf pernyataan pertanyaan sebelumnya tidak benar. Sekarang saya sudah membuat beberapa koreksi. Dan apa yang bisa kita katakan untuk variabel acak yang lebih umum dengan beberapa perilaku ekor yang membusuk？

— Steve

Pertanyaan Anda yang lebih umum dibahas dalam catatan kuliah Terry Tao.

— Yuval Filmus