Apakah ada representasi kompleksitas deskriptif dari kelas kompleksitas kuantum?

Judulnya kurang lebih menyebutkan semuanya, tapi saya rasa saya bisa menambahkan sedikit latar belakang dan beberapa contoh spesifik yang saya minati.

Para ahli teori kompleksitas deskriptif, seperti Immerman dan Fagin, telah mengkarakterisasi banyak kelas kompleksitas yang paling terkenal menggunakan logika. Misalnya, NP dapat dikarakterisasi dengan kueri eksistensial orde dua; P dapat dikarakterisasi dengan kueri urutan pertama dengan ditambahkan operator titik paling tidak tetap.

Pertanyaan saya adalah: Pernahkah ada upaya, terutama yang berhasil, dalam menghadirkan representasi seperti itu untuk kelas kompleksitas kuantum, seperti BQP atau NQP? Jika tidak, mengapa tidak?

Terima kasih.

Pembaruan (moderator) : pertanyaan ini sepenuhnya dijawab oleh posting ini di mathoverflow .

cc.complexity-theory quantum-computing descriptive-complexity

— Philip White
sumber

lihat pertanyaan Kaveh di MO: mathoverflow.net/questions/35236/…

— Alessandro Cosentino

sedekat duplikat?

— Suresh Venkat

Bagi mereka yang bertanya-tanya mengapa pertanyaan ini telah ditutup sebagai di luar topik (seperti saya): Abaikan alasan yang dekat karena tidak ada artinya (selama pertanyaan ini diperhatikan). Menutup pertanyaan membutuhkan salah satu dari beberapa alasan. "Duplikat yang tepat" akan menjadi alasan yang sesuai, tetapi sistem tidak memungkinkan kami untuk menutup pertanyaan sebagai duplikat yang tepat dari sebuah pertanyaan di MathOverflow. Karena itu, saya kira Suresh memilih salah satu alasan yang tersedia secara acak.

— Tsuyoshi Ito

ps: Saya pikir mungkin masuk akal untuk mempertimbangkan kasus-kasus ini dalam mirip dengan lintas posting dan tidak menutupnya. Seseorang (misalnya OP) memposting jawaban CW berdasarkan (atau hanya tautan ke) jawaban pada MO.

— Kaveh

Saya membuka kembali pertanyaan.

— Ryan Williams

Jawaban:

Saya pikir jawaban Robins ini untuk pertanyaan saya di MO juga menjawab satu ini.

Sebuah kompleksitas deskriptif karakterisasi kelas kompleksitas memberikan bahasa yang query (yaitu formula) yang persis fungsi komputasi di . Sintaks bahasa biasanya sangat sederhana, yaitu diberi string mudah untuk memeriksa apakah adalah permintaan yang terbentuk dari bahasa, setidaknya itu diharapkan dapat dipilih (tetapi biasanya sintaks memeriksa dapat dilakukan dalam kelas kompleksitas kecil). Ini akan memerlukan enumerablity efektif masalah di kelas dan akan memberikan karakterisasi sintaksis untuk . (Jika kompleksitas pemeriksaan sintaksis rendah, ini mungkin juga menyiratkan adanya masalah lengkap untuk kelas.) $C$ $C$ $q$ $q$ $C$ $C$

Dalam komentar di atas, Robin terkait dengan Kord Eickmeyer dan kertas Martin Grohe ini " Pengacakan dan Derandomization di Deskriptif Kompleksitas Teori " yang memberikan "kompleksitas deskriptif" karakterisasi . Para penulis sendiri mencatat dalam pengantar bahwa ini berbeda dari apa yang biasanya dimaksud dengan karakterisasi kompleksitas deskriptif: $BPP$

Kami membuktikan bahwa , versi probabilistik dari logika titik tetap dengan penghitungan, menangkap kelas kompleksitas , bahkan pada struktur yang tidak berurutan. Untuk struktur teratur, hasil ini merupakan konsekuensi langsung dari Teorema Immerman-Vardi [7, 8], dan untuk struktur sewenang-wenang itu mengikuti dari pengamatan bahwa kita dapat menentukan urutan acak dengan probabilitas tinggi dalam BPIFP + C. Namun, hasilnya mengejutkan pada pandangan pertama karena kesamaan dengan pertanyaan terbuka apakah ada logika menangkap , dan karena diyakini bahwa . $BPIFP+C$ $BPP$ $P$ $P = BPP$ Peringatan adalah bahwa logika tidak memiliki sintaks yang efektif dan dengan demikian bukanlah “logika” menurut [9] Definisi Gurevich ini yang mendasari pertanyaan untuk logika yang menangkap . $BPIFP+C$ $P$ Namun demikian, kami percaya bahwa memberikan deskripsi yang sepenuhnya memadai tentang kompleksitas kelas , karena definisi secara inheren juga tidak efektif (sebagai lawan dari definisi dalam hal yang dapat ditentukan. set mesin Turing clock secara polinomi). $BPIFP+C$ $BPP$ $BPP$ $P$

Saya bukan ahli dalam teori model hingga / kompleksitas deskriptif (dan secara pribadi ingin mendengar lebih banyak dari para ahli), tetapi perasaan saya adalah bahwa ada sedikit kecurangan di sini dengan mengatakan bahwa ini adalah karakterisasi kompleksitas deskriptif. Alasan perasaan saya adalah bahwa jika kita diizinkan memiliki sintaksis yang tidak efektif, kita dapat menggunakan batasan semantik yang arbitrer untuk membatasi kelas kueri yang terbentuk dengan baik dan dapat memberikan karakterisasi "kompleksitas deskriptif" untuk setiap kelas kompleksitas. Sebagai contoh, perhatikan (yang menangkap ), dan kemudian mengambil persis kueri yang dihitung di $SO(TC)$ $PSpace$ $BQP$ ; atau mempertimbangkan bahasa yang memiliki satu fungsi simbol untuk setiap mesin di . Kedua capture ini tetapi tidak memiliki sintaks yang efektif. $BQP$ $BQP$

— Kaveh
sumber

$\mathsf{P}$ $\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $M$ $\varphi$ $M$ $\varphi$ $\sigma$ $R_1,R_2,\ldots$

$\sigma$ $\sigma$ $\rho$ $\sigma$ $\rho$ . Ini adalah pembantaian saya tentang Definisi 1 dalam makalah Eickmeyer-Grohe yang ditautkan oleh Robin Kothari. Secara khusus, kosakata tidak terbatas (well, masing-masing kosakata itu, tetapi kita harus mempertimbangkan banyak kosakata yang berbeda), rangkaian kalimat dari logika ini tidak dapat diputuskan, dan gagasan kepuasan berbeda dari yang dikemukakan oleh Gurevich .

— Aaron Sterling
sumber