Saya telah memikirkan pertanyaan berikut pada
berbagai waktu sejak saya melihat pertanyaan tentang Kriptografi ini .
Pertanyaan
Biarkan menjadi hubungan TFNP . Dapatkah oracle acak membantu P / poli
untuk memecahkan R dengan probabilitas yang tidak dapat diabaikan? Lebih formal,
Apakah
untuk semua P / poly algoritma , Pr x [ R ( x , A ( x ) ) ] adalah diabaikan
tentu menyiratkan itu
untuk hampir semua o racles , untuk semua P / poli oracle-algoritma A , Pr x [ R ( x , A O ( x ) ) ] diabaikan
?
Formulasi alternatif
Seperangkat nubuat yang relevan adalah (sehingga dapat diukur), sehingga dengan mengambil kontrapositif dan menerapkan hukum nol-satu Kolmogorov , formulasi berikut ini setara dengan yang asli.
Apakah
untuk hampir semua o rash , terdapat algoritma P / poly oracle- A sehingga Pr x [ R ( x , A O ( x ) ) ] tidak dapat diabaikan
tentu menyiratkan itu
ada algoritma P / poly sehingga Pr x [ R ( x , A ( x ) ) ] tidak dapat diabaikan
?
Kasus seragam
Ini bukti untuk versi seragam :
Hanya ada banyak-banyak PPT oracle-algoritma, sehingga dengan aditivitas yang dapat dihitung dari null [ideal] [8], ada algoritma PPT sedemikian rupa sehingga untuk seperangkat oracle yang bukan nol O ,
Pr x [ R ( x , A O ( x ) ) ] tidak dapat diabaikan. Biarkan B menjadi seperti algoritma-oracle.
Demikian pula, misalkan menjadi bilangan bulat positif sehingga untuk seperangkat orakel non-nol O ,
Pr x [ R ( x , B O ( x ) ) ]
adalah tak terhingga-sering setidaknya n - c , di mana n adalah panjang input.
Oleh Contrapositive Borel-Cantelli ,
Σ ∞ n = 0 Pr O [ n - c ≤ Pr x ∈ { 0 , 1
tidak terbatas.
Dengan uji perbandingan , sering kali .
Misalkan adalah algoritma PPT yang [mensimulasikan oracle] [12] dan menjalankan B dengan simulasi-oracle tersebut.
Fix dan membiarkan G o o d adalah himpunan firman O sehingga n - c ≤ Pr x ∈ { 0 , 1 } n [ R ( x , B O ( x ) ) ] .
Jika tidak null maka Pr O [ O ∈ G o o d ] ⋅ n - c = Pr O [ O ∈ G o o d ] ⋅ E O [ n - c ] ≤ Pr O [ O ∈ G o o d ] ⋅ E O [ Pr x ∈ { 0 .
Karena seringkali tak terhingga, Pr x [ R ( x , S ( x ) ) ] tidak dapat diabaikan.
Oleh karena itu versi seragam berlaku. Buktinya secara kritis menggunakan fakta bahwa
hanya ada banyak algoritma PPT oracle. Gagasan ini tidak berfungsi dalam kasus yang
tidak seragam, karena ada banyak algoritma kontinum-P / poli oracle.