Apakah ada operasi divisi yang didefinisikan dengan baik pada automata terbatas?

15

Latar Belakang:

Diberi dua automata terbatas deterministik A dan B, kami membentuk produk C dengan membiarkan negara bagian dalam C menjadi produk kartesian negara bagian di negara A dan negara bagian B. Kemudian, kami memilih transisi, keadaan awal, dan keadaan akhir sehingga bahasa diterima oleh C adalah persimpangan bahasa untuk A dan B.

Pertanyaan:

(1) Bisakah kita "membagi" C dengan B untuk menemukan A? Apakah A bahkan unik, hingga isomorfisme? Kami peduli dengan diagram keadaan, bukan bahasa di sini dan di bawah. Jadi, kami tidak mengizinkan mengompresi diagram keadaan untuk mengurangi jumlah status.

(2) Jika A unik, apakah ada algoritma yang efisien untuk menemukannya?

(3) Apakah setiap otomat terbatas deterministik memiliki faktorisasi unik menjadi "bilangan prima". Perdana di sini berarti otomat yang tidak dapat difaktorkan, yaitu, ditulis sebagai produk dari 2 automata yang lebih kecil.

Bekerja dengan @MichaelWehar

fl.formal-languages automata-theory dfa

— Whosyourjay
sumber

5

Dekomposisi klasik adalah teori Krohn-Rhodes - banyak yang harus dilihat.

2

Pertimbangkan turunan Brzozowski. en.wikipedia.org/wiki/Brzozowski_derivative

— Vijay D

2

Teori @halfTrucker Krohn-Rhodes berkaitan dengan produk karangan bunga. OP bertanya tentang produk Cartesian.

— scaaahu

2

Terima kasih @halfTrucker, ini sangat menarik! Seperti yang dikatakan scaaahu, saya mencari produk kartesius, tetapi referensi Anda masih bagus.

— Whosyourjay

8

Lihatlah makalah MFCS 2013 ini , yang mempelajari komposisi dalam automata. Mungkin itu akan membantu.

— Shaull
sumber

2

+1 untuk tautan. Mengutip dari pembahasan artikel, Sementara kasus umum masih terbuka , tampaknya artikel tersebut hanya mengeksplorasi kasus permutasi automata. Apakah ada perkembangan terbaru untuk kasus umum? Maksud saya dalam arti produk kartesius? (Teori Krohn-Rhodes berkaitan dengan produk karangan bunga) Terima kasih.

— scaaahu

3

Saya tidak tahu tentang perkembangan terkini. Saya dapat memberitahu Anda bahwa tidak ada tindak lanjut langsung ke makalah ini. Tapi ini bisa dijadikan indikasi bahwa masalahnya memang tidak mudah.

— Shaull

4

Mari kita berikan beberapa cara yang jelas untuk memulihkan satu "faktor" dari otomat produk. Jika dan menunjukkan otomat produk, maka jika kita mendefinisikan yaitu hanya melupakan $\mathcal A_i = (Q_i, \delta_i, q_{0i}, F_i), i = 1,2$ $\mathcal A = \mathcal A_1 \times \mathcal A_2$

π_{1} ((q, q^{'})) := q

$\pi_1( (q, q') ) := q$

A_{2}

$\mathcal A_2$ , atau memproyeksikan ke komponen kedua, kita memiliki

, juga jika kita ingin tahu

mengambil beberapa

dan menghitung dalam otomat produk

Q_{1} = π (Q_{1} \times Q_{2})

$Q_1 = \pi(Q_1\times Q_2)$

δ_{1} (q, x)

$\delta_1(q,x)$

q^{'} \in Q_{2}

$q' \in Q_2$

, maka kita juga dapat memulihkan transisi dalam

.

π ((δ_{1} (q, x), δ_{2} (q^{'}, x)) = δ_{1} (q, x)

$\pi((\delta_1(q,x), \delta_2(q', x)) = \delta_1(q,x)$

A_{1}

$\mathcal A_1$

Jadi jika kita tahu bahwa otomat adalah otomat produk kartesius (atau eksternal), kita dapat dengan mudah memulihkan faktor-faktornya.

Tapi saya kira ini bukan yang Anda pikirkan tentang pertanyaan Anda yang lain. Dua pertanyaan muncul di sini (dalam isomorfisme otomat yang saya maksud adalah isomorfik sebagai grafik keadaan, yaitu tanpa memperhatikan keadaan awal atau akhir, seperti yang Anda katakan bahasanya tidak terlalu menjadi perhatian di sini):

1) Dengan adanya otomat yang isomorfik terhadap suatu otomat produk (yaitu dapat didekomposisi dengan cara tertentu) dari sejumlah automata yang terbatas, apakah dekomposisi ini pada dasarnya unik? (mengingat bahwa faktor-faktor tidak dapat diuraikan lebih lanjut, karena jika tidak jelas tidak). Lebih tepatnya jika untuk automata apakah ini menyiratkan dan untuk penataan ulang

A_{1} \times \dots \times A_{k} ≅ B_{1} \times \dots \times B_{l}

$\mathcal A_1 \times \ldots \times \mathcal A_k \cong \mathcal B_1 \times \ldots \times \mathcal B_l$

A_{i}, B_{j}

$\mathcal A_i, \mathcal B_j$

k = l

$k = l$

A_{i} ≅ B_{π (i)}

$\mathcal A_i \cong \mathcal B_{\pi(i)}$

. Saya menduga itu benar, tetapi saya belum punya bukti.

π : {1, \dots k} \to {1, \dots k}

$\pi : \{1,\ldots k \}\to \{1,\ldots k \}$

2) Mengingat setiap dua automata , tidak terdapat robot ketiga sehingga . $\mathcal A, \mathcal B$ $\mathcal C$ $\mathcal A = \mathcal B \times \mathcal C$

Sangat mudah untuk mendapatkan kondisi yang diperlukan untuk itu menjadi masalah, tetapi saya tidak melihat kriteria yang cukup mudah untuk beberapa robot menjadi faktor dari yang lain.

π_{1} ((δ_{1} (q, x), δ_{2} (q^{'}, x)) = δ_{1} (q, x) = δ_{1} (π_{1} (q, q^{'}), x)

$\pi_1( (\delta_1(q, x), \delta_2(q', x)) = \delta_1(q,x) = \delta_1(\pi_1(q,q'), x)$

q \in Q_{1}, q^{'} \in Q_{2}

$q \in Q_1, q' \in Q_2$

π

$\pi$

A_{1} \times A_{2}

$\mathcal A_1 \times \mathcal A_2$

A_{2}

$\mathcal A_2$

Otomat $\mathcal A$ membagi otomat $\mathcal B$ jika ada homomorfisme grafik negara $\mathcal B$ ke $\mathcal A$ .

Sangat menarik mendapat anggapan ini jika kita menganggap transisi monoids dari automata, maka definisi ini setara dengan bahwa terdapat homomorfisme surjektif dari monoid transisi dari $\mathcal B$ untuk itu $\mathcal A$ .

Lebih umum, kita katakan itu monoid $M$ membagi monoid $N$ jika $M$ adalah gambar beberapa morfisme dari submonoid dari $N$ . Dan gagasan ini banyak digunakan, dan mengingat hubungan antara DEA dan monoida terbatas yang berkaitan erat dengan pertanyaan Anda tentang dekomposisi automata. Jika Anda ingin mengetahui lebih lanjut, lihat sumber daya ini:

H. Straubing, P. Weil Pengantar hingga automata terbatas dan hubungannya dengan logika,

Situs web kursus dengan banyak informasi.

Catatan : Ada juga gagasan lain tentang " quotienting ", lihat wikipedia: quotient automaton , tetapi ini hanya aturan untuk collapsing state dan digunakan dalam algoritma inferensi pembelajaran / bahasa atau minimalisasi status.

— StefanH
sumber