Kelas Kompleksitas P / Poli & Seragam

Tidak diketahui apakah NEXP terkandung dalam P / poli. Memang membuktikan bahwa NEXP tidak dalam P / poly akan memiliki beberapa aplikasi dalam derandomisasi.

Apakah seragam kelas C terkecil yang dapat dibuktikan bahwa C tidak terkandung dalam P / poli?
Apakah menunjukkan bahwa co-NEXP tidak terkandung dalam P / poli memiliki beberapa konsekuensi teoretis kompleksitas lain seperti dalam kasus NEXP vs P / poly?

Catatan: Saya sadar bahwa $SP_2$ dikenal tidak terkandung dalam $Size[n^k]$ untuk setiap konstan tetap $k$ (ini juga ditampilkan untuk MA dengan 1 bit nasihat). Tetapi dalam pertanyaan ini saya tidak tertarik dengan hasil untuk memperbaiki $k$ . Saya benar-benar tertarik pada kelas yang berbeda dari P / Poly, meskipun kelas ini sangat besar.

complexity

— Springberg
sumber

Anda pada dasarnya meminta masalah dengan batas bawah ukuran superpolynomial untuk sirkuit umum.

— Kaveh

{M A}_{e x p}

$\mathsf{MA}_\mathrm{exp}$ diketahui tidak berada di

P / p o l y

$\mathsf{P/poly}$ . Lihatartikel Wikipediauntuk bukti singkat.

— Robin Kothari

P / poli ditutup di bawah komplemen, sehingga berisi NEXP jika dan hanya jika mengandung coNEXP.

— Emil Jeřábek

Emil, Robin dan Andrew, terima kasih atas jawaban Anda. Saya pikir pertanyaan saya dapat dianggap sudah dijawab sekarang. Apakah seseorang akan menuliskannya dalam jawaban sehingga saya dapat menerimanya?

— Springberg

Saya percaya bahwa

M A_{e x p}

$MA_{exp}$ adalah kelas seragam terkecil dengan diketahui batas bawah superpolynomial ( people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/nonrel.pdf ), dan bahwa

O_{2}^{P}

$O^P_2$ adalah salah satu terkecil dengan sewenang-wenang polinomial yang lebih rendah bounds ( citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/… ).

— Alex Golovnev

$\let\mr\mathrm$ Ada beberapa hasil dalam literatur yang menyatakan bahwa tertentu kelas $C$ memenuhi $C\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ untuk setiap , dan biasanya itu adalah mudah untuk pad mereka untuk menunjukkan bahwa versi nyaris superpolynomially diperluas tidak di . $k$ $C$ $\mr{P/poly}$

Izinkan saya mengatakan bahwa adalah ikatan superpolinomial jika waktu-dapat dibangun, dan . Sebagai contoh, adalah ikatan superpolinomial. Bahkan, latihan instruktif menunjukkan bahwa jika adalah fungsi komputasi monoton yang tidak terikat, ada terikat superpolynomial sehingga . $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$ $f(n)=n^{\omega(1)}$ $n^{\log\log\log\log n}$ $g(n)$ $f$ $f(n)\le n^{g(n)}$

Pertama, diagonalisasi langsung menunjukkan bahwa untuk setiap . Argumen yang sama memberi: $\Sigma_4^P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

Jika terikat , maka . $f$ $\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

Sketsa bukti: Untuk setiap , misalkan menjadi sirkuit leksikografis pertama dengan ukuran yang menghitung fungsi Boolean dalam variabel yang tidak dapat dihitung oleh sirkuit ukuran . Kemudian, bahasa didefinisikan oleh berfungsi. $n$ $C_n$ $2f(n)$ $n$ $<f(n)$ $L$ $x\in L\iff C_{|x|}(x)=1$

Perbaikan terkenal menyatakan bahwa untuk setiap . Juga, $S_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

Jika terikat superpolinomial, maka . $f$ $S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

Bukti sketsa: Jika tidak, maka khususnya , maka . Dengan argumen padding, , quod non . $\mr{NP}\subseteq S_2\mr P\subseteq\mr{P/poly}$ $\mr{PH}=S_2\mr P$ $\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq\mr{P/poly}$

Kelas yang tidak disadari bahkan lebih baik. Dengan mempertimbangkan keberatan yang diajukan oleh Apoorva Bhagwat, mari . Kemudian untuk setiap , dan argumen yang sama menghasilkan: $\mr{NLin=NTIME}(n)$ $\mr{NLin}\cup O_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

Jika terikat superpolinomial, maka . $f$ $\mr{NLin}\cup O_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

Bukti sketsa: Jika , maka dengan padding, , yang berarti . Kemudian kami melanjutkan seperti sebelumnya. $\mr{NLin\subseteq P/poly}$ $\mr{NP\subseteq P/poly}$ $\mr{PH}=O_2\mr P$

Ada juga hasil yang melibatkan MA. Hasil yang sering disebutkan bahwa adalah berlebihan. Santhanam membuktikan untuk setiap , dan argumen serupa memberikan: $\mr{MA\text-EXP\nsubseteq P/poly}$

hal r Hai m saya s e - M. SEBUAH \cap hal r Hai m saya s e - c Hai M. SEBUAH ⊈ S saya Z E (n^{k})

$\mr{promise\text-MA\cap promise\text-coMA\nsubseteq SIZE}(n^k)$

k

$k$

Jika ada ikatan superpolinomial, maka $f$
$hal r Hai m saya s e - M. SEBUAH - T saya M. E (f (n)) \cap hal r Hai m saya s e - c Hai M. SEBUAH - T saya M. E (f (n)) ⊈ P / hal Hai l y .$ $\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}.$
Sketsa bukti: Oleh Santhanam's Lemma 11 (yang merupakan versi tajam dari fakta standar yang dengan pepatah PSPACE), ada bahasa PSPACE-lengkap dan bahasa acak oracle poly-time TM sedemikian rupa sehingga pada input , hanya menanyakan oracle queries of length; jika , maka menerima dengan probabilitas ; dan jika , maka untuk setiap oracle , menerima dengan probabilitas . $\mr{PSPACE=IP}$ $L$ $M$ $x$ $M$ $|x|$ $x\in L$ $M^L(x)$ $1$ $x\notin L$ $A$ $M^A(x)$ $\le1/2$

Untuk polinomial monoton yang sesuai , misalkan menjadi masalah janji yang didefinisikan oleh Misalkan menjadi pengurangan polinomial ke komplemennya, dan biarkan menjadi masalah yang menjanjikan $p$ $A=(A_{\mr{YES}},A_{\mr{NO}})$
$\begin{aligned} (x, s) \in A_{Y E S} & ⟺ \exists circuit C (p (| C | + | x |) \leq f (| s |) \land Pr [M^{C} (x) accepts] = 1), \\ (x, s) \in A_{N O} & ⟺ \forall circuit C (p (| C | + | x |) \leq f (| s |) \to Pr [M^{C} (x) accepts] \leq 1 / 2) . \end{aligned}$ $\begin{align} (x,s)\in A_{\mr{YES}}&\iff\exists\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\land\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]=1\bigr),\\ (x,s)\in A_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff\forall\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\to\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]\le1/2\bigr). \end{align}$ $h(x)$ $L$ $B=(B_{\mr{YES}},B_{\mr{NO}})$ $\begin{aligned} (x, s) \in B_{Y E S} & ⟺ (x, s) \in {SEBUAH}_{Y E S} \land (h (x), s) \in {SEBUAH}_{N HAI}, \\ (x, s) \in B_{N HAI} & ⟺ (x, s) \in {SEBUAH}_{N HAI} \land (h (x), s) \in {SEBUAH}_{Y E S} . \end{aligned}$ $\begin{align} (x,s)\in B_{\mr{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{YES}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{NO}},\\ (x,s)\in B_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{NO}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{YES}}. \end{align}$ Jika dipilih besar, Jadi, mari kita asumsikan untuk kontradiksi bahwa memiliki sirkuit ukuran polinomial, katakanlah, . Misalkan menunjukkan ukuran komputasi sirkuit terkecil pada input dengan panjang , dan masukkan ; lebih tepatnya, Kemudian $p(n)$ $B \in hal r Hai m saya s e - M. SEBUAH - T saya M. E (f (n)) \cap hal r Hai m saya s e - c Hai M. SEBUAH - T saya M. E (f (n)) .$ $B\in\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n)).$ $B$ $B\in\mr{SIZE}(n^k)$ $s(n)$ $L$ $n$ $t(n)=f^{-1}(p(s(n)))$ $t (n) = min {m : hal (s (n)) \leq f (m)} .$ $t(n)=\min\{m:p(s(n))\le f(m)\}.$ $x\mapsto(x,1^{t(n)})$ adalah pengurangan dari ke , dengan demikian , yang berarti Tetapi karena adalah superpolinomial, kita memiliki . Ini memberikan kontradiksi untuk cukup besar. $L$ $B$ $L\in\mr{SIZE}(t(n)^k)$ $s (n) \leq t (n)^{k} .$ $s(n)\le t(n)^k.$ $f$ $t(n)=s(n)^{o(1)}$ $n$

Jika kita lebih suka hasil dengan versi MA yang tidak dijanjikan , Miltersen, Vinodchandran, dan Watanabe terbukti untuk setengah eksponensial fungsi . Kita dapat memperbaikinya dengan dua cara: pertama, ia berlaku untuk -batas terikat untuk setiap konstanta , dan kedua, berlaku untuk kelas yang tidak diketahui. Di sini, fungsi -exponential, secara kasar, fungsi sehingga

M. SEBUAH - T saya M. E (f (n)) \cap c Hai M. SEBUAH - T saya M. E (f (n)) ⊈ P / hal Hai l y

$\mr{MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

f

$f$

\frac{1}{k}

$\tfrac1k$

k

$k$

\frac{1}{k}

$\tfrac1k$

f

$f$

\underset{k}{\underset{⏟}{f \circ \dots \circ f}} = \exp

$\underbrace{f\circ\dots\circ f}_k=\exp$ . Lihat kertas Miltersen – Vinodchandran – Watanabe dan referensi di dalamnya untuk definisi yang tepat; itu melibatkan keluarga yang berperilaku baik dari fungsi yang berperilaku baik , , sedemikian sehingga , , dan . Juga, jika dan , maka . Maka kita memiliki:

e_{α} (x)

$e_\alpha(x)$

α \in R_{+}

$\alpha\in\mathbb R_+$

e_{0} (x) = x

$e_0(x)=x$

e_{1} (x) = e^{x} - 1

$e_1(x)=e^x-1$

e_{α + β} = e_{α} \circ e_{β}

$e_{\alpha+\beta}=e_\alpha\circ e_\beta$

f (n) \leq e_{α} (p o l y (n))

$f(n)\le e_\alpha(\mr{poly}(n))$

g (n) \leq e_{β} (p o l y (n))

$g(n)\le e_\beta(\mr{poly}(n))$

f (g (n)) \leq e_{α + β} (p o l y (n))

$f(g(n))\le e_{\alpha+\beta}(\mr{poly}(n))$

$\mr{OMA\text-TIME}(e_\alpha)\cap\mr{coOMA\text-TIME}(e_\alpha)\nsubseteq\mr{P/poly}$ untuk . $\alpha>0$

Sketsa bukti: Asumsikan sebaliknya. Perbaiki bilangan bulat sedemikian sehingga . Biarkan saya menyingkat Dengan bantalan, kami memiliki untuk setiap . Selain itu, menggunakan mis. Lemma 11 Santhanam di atas, kami memiliki implikasi Karena sepele , aplikasi berulang dari (1) dan (2) menunjukkan , $k$ $1/k<\alpha$
$HAI c HAI M. T (f) = HAI M. SEBUAH - T saya M. E (hal Hai l y (f (hal Hai l y (n))) \cap c Hai HAI M. SEBUAH - T saya M. E (hal Hai l y (f (hal Hai l y (n))) .$ $\mr{OcOMT}(f)=\mr{OMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n)))\cap\mr{coOMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n))).$ $\begin{matrix} (1) & HAI c HAI M. T (e_{β + 1 / k}) \subseteq S saya Z E (e_{β} (hal Hai l y (n))) \end{matrix}$ $\tag{1}\mr{OcOMT}(e_{\beta+1/k})\subseteq\mr{SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))$ $\beta\ge0$ $\begin{matrix} (2) & P S P SEBUAH C E \subseteq S saya Z E (e_{β} (hal Hai l y (n))) ⟹ P S P SEBUAH C E \subseteq HAI c HAI M. T (e_{β}) . \end{matrix}$ $\tag{2}\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))\implies\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_\beta).$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_1)$ $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-1)/k}(\mr{poly}(n)))$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-1)/k})$ , , , dan seterusnya. Setelah langkah , kita mencapai Menggunakan padding sekali lagi, kita mendapatkan yang bertentangan dengan hasil di atas , karena adalah ikatan superpolinomial. $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-2)/k}(\mr{poly}(n)))$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-2)/k})$ $k$ $P S P SEBUAH C E \subseteq P / hal Hai l y dan P S P SEBUAH C E = HAI M. SEBUAH \cap c Hai HAI M. SEBUAH .$ $\mr{PSPACE\subseteq P/poly}\qquad\text{and}\qquad\mr{PSPACE=OMA\cap coOMA}.$ $D S P SEBUAH C E (e_{1 / k}) \subseteq HAI c HAI M. T (e_{1 / k}) \subseteq P / hal Hai l y,$ $\mr{DSPACE}(e_{1/k})\subseteq\mr{OcOMT}(e_{1/k})\subseteq\mr{P/poly},$ $e_{1/k}$

— Emil Jeřábek
sumber

Karena tidak ada yang mengirim jawaban, saya akan menjawab sendiri pertanyaan dengan komentar yang diposting di pertanyaan awal. Terima kasih kepada Robin Kothari, Emil Jerabek, Andrew Morgan dan Alex Golovnev.

$MA_{exp}$ tampaknya kelas seragam terkecil dengan batas bawah superpolynomial yang diketahui.

$O_2^P$ tampaknya kelas terkecil yang diketahui tidak memiliki sirkuit ukuran untuk setiap tetap . $n^k$ $k$

Dengan diagonalisasi, berikut bahwa untuk setiap super-polinomial (dan ruang-constructible) fungsi , tidak memiliki sirkuit polinomial-ukuran. versus masih terbuka. $s$ $DSPACE[s(n)]$ $PSPACE$ $P/poly$

$P/poly$ ditutup di bawah komplemen, sehingga berisi jika dan hanya jika mengandung . $NEXP$ $coNEXP$

— Springberg
sumber

Harap perbaiki saya jika saya salah, tapi sejauh yang saya tahu, kita benar-benar tidak tahu ukuran fixed-polinomial batas bawah untuk . Ini karena argumen Karp-Lipton yang biasa tidak untuk , karena kita tidak tahu apakah (pada kenyataannya, ini setara dengan menanyakan apakah ). Namun, kita tahu bahwa tidak terkandung dalam untuk setiap , seperti yang ditunjukkan oleh Chakaravarthy dan Roy. $O_2^P$ $O_2^P$ $\textsf{NP}\subseteq O_2^P$ $\textsf{NP}\subseteq \textsf{P/poly}$ $\textsf{NP}^{O_2^P}$ $\textsf{SIZE}(n^k)$ $k$

— Apoorva Bhagwat
sumber