Apa kompleksitas membedakan spektrum Fourier sejati dari spektrum palsu?

Sebuah $PH$ mesin diberikan akses oracle ke acak Boolean fungsi $f:\{0,1\}^n \to \{ -1,1 \}$ , dan dua Fourier spektrum $g$ dan $h$ .

Spektrum Fourier dari fungsi $f$ didefinisikan sebagai $F:\{0,1\}^n \to R$ :

$F(s)=\sum_{x\in\{0,1\}^n} (-1)^\left( s\cdot x \mod\ 2 \right) f(x)$

Salah satu dari atau adalah spektrum Fourier sebenarnya dari dan yang lainnya hanyalah spektrum Fourier palsu yang dimiliki oleh fungsi Boolean acak yang tidak diketahui. $g$ $h$ $f$

Tidak sulit untuk menunjukkan bahwa mesin $PH$ , bahkan tidak dapat memperkirakan $F(s)$ untuk setiap $s$ .

Apa kompleksitas permintaan untuk memutuskan dengan probabilitas keberhasilan tinggi mana yang benar?

Sangat menarik bagi saya, karena jika masalah ini tidak di $PH$ , maka orang dapat menunjukkan bahwa ada oracle relatif yang $BQP$ di bukan subset dari $PH$ .

— Mirmojtaba Gharibi
sumber

@Mirmojtaba: Walaupun saya tahu masalah dan motivasi, alangkah baiknya jika Anda dapat mengedit pertanyaan Anda dan mendefinisikan "spektrum Fourier" dan menjelaskan motivasi bagi pembaca yang tidak terbiasa dengan masalah ini (atau hanya terminologi yang telah Anda gunakan). Anda mungkin mendapatkan lebih banyak jawaban dari orang-orang seperti itu. Selain itu, biasanya lebih disukai jika Anda mengedit pertanyaan untuk menambahkan komentar tambahan, alih-alih mempostingnya di utas komentar. (Sehingga pembaca hanya perlu membaca pertanyaan Anda dan bukan komentarnya.)

— Robin Kothari

Mungkin saya salah mengerti masalahnya, tetapi sepertinya masalah ini terlalu sulit. Jika g dan h sangat dekat (katakan mereka berbeda hanya pada 1 bit), bagaimana mesin BQP memutuskan mana yang merupakan spektrum Fourier f yang benar? Tidakkah batas bawah pada masalah pencarian menyiratkan bahwa ini sulit untuk komputer kuantum?

— Robin Kothari

Saya punya pertanyaan yang lebih mendasar. diberikan fungsi sewenang-wenang, apakah mudah untuk mengetahui apakah itu memang spektrum fourier dari fungsi boolean?

— Suresh Venkat

sebagai tambahan, karena dia menunggu dua hari sebelum crossposting, dan itu juga setelah tidak mendapat jawaban di sini, saya pikir tidak apa-apa untuk melakukannya. Lihat juga resolusi yang dicapai di sini: meta.cstheory.stackexchange.com/questions/673/…

— Suresh Venkat

Apa itu mesin PH? Bahkan, ini tampaknya tidak relevan jika Anda hanya tertarik pada kompleksitas permintaan, bukan? Dalam hal ini masalahnya tampaknya bermuara pada masalah aljabar linier sederhana, yang mungkin memberikan kompleksitas kueri eksponensial.

— domotorp

Jawaban:

Maaf saya terlambat - ini pertanyaan yang bagus! Seperti yang telah ditunjukkan oleh orang lain, itulah tepatnya mengapa saya mengajukan pertanyaan dalam makalah BQP vs PH saya , dan mengapa saya menghabiskan 4 atau 5 bulan mengerjakannya tanpa berhasil di tahun 2008. Salah satu cara untuk menjawab pertanyaan adalah membuktikannya pernyataan yang jauh lebih umum yang saya sebut "Dugaan Linial-Nisan Umum" --- tetapi sayangnya, dugaan itu ternyata salah , setidaknya untuk sirkuit dengan kedalaman 3 dan lebih tinggi. (Saya masih berpikir itu mungkin benar untuk sirkuit kedalaman-2, yang setidaknya akan menghasilkan pemisahan oracle antara BQP dan AM.) Untuk ide-ide yang lebih baru (terbaru, sejauh yang saya tahu) menuju pemisahan oracle antara BQP dan PH, lihat karya lanjutan yang bagus dari Fefferman, Shaltiel, Umans,

— Scott Aaronson
sumber

apakah pernyataan pertanyaan di atas oleh Gharibi sama atau sedikit berbeda? apakah ini versi relativisimu?

— vzn

Ini sedikit varian, tapi saya percaya tidak sulit untuk membuktikannya. Pertama, tentu saja jika Anda dapat menyelesaikan Pemeriksaan Fourier maka Anda juga dapat memecahkan masalah Gharibi (jalankan algoritma FC secara terpisah untuk g dan h). Sebagai gantinya, jika Anda dapat menyelesaikan masalah Gharibi, maka berikan instance FC, beri nama fungsi FC kedua baik "g" atau "h" secara seragam secara acak, dan atur yang lain dari keduanya (masing-masing h atau g) menjadi fungsi acak. Jika algoritma Gharibi selalu mengambil fungsi asli dari instance FC, itu bukti bahwa instance itu terkait bukan acak.

— Scott Aaronson

Apakah lebih dikenal ketika f berada di P?

— Gil Kalai

Gil: Tidak juga! Anda kemudian mendapatkan masalah janji yang tidak terkait dengan BQP, yang kami tidak tahu ada di PH. Tentu saja, Anda dapat mensimulasikan kasus "acak" dari masalah oracle dengan mengganti f dan g dengan fungsi pseudorandom (dihitung dalam waktu itu polinomial yang lebih besar daripada mesin PH yang tersedia). Bagian yang sulit adalah, bagaimana Anda mensimulasikan kasus "orrelated" dari masalah oracle (di mana f dekat dengan transformasi Fourier g)? Yaitu, bagaimana Anda menyediakan sirkuit kecil untuk f dan g yang tidak "memberikan seluruh permainan"? (Masalah serupa terjadi dengan masalah Simon.)

— Scott Aaronson

Scott Aaronson mungkin orang terbaik di dunia untuk menjawab pertanyaan ini, mungkin dia akan memiliki jawaban yang lebih baik setelah ini diposting. ia mengusulkan masalah asli yang mana pertanyaan yang diposkan ini tampaknya merupakan varian yang sangat kecil, yang disebut masalah pemeriksaan Fourier (lebih banyak referensi tentang hal itu di komentar). masalah terkait erat / hampir setara dengan memisahkan dua kelas kompleksitas penting PH dan BQP yang merupakan masalah terbuka utama dari teori kompleksitas QM, dan mungkin sangat sulit. tidak tampak bahwa banyak penelitian langsung / lebih lanjut tentang hal itu telah dilakukan pada masalah sejauh ini oleh siapa pun selain Aaronson dan mungkin bahkan tidak dia (yang tampaknya hanya sedikit lebih dari 2 tahun).

namun di sini setidaknya ada satu makalah oleh orang lain selain Aaronson yang berfokus / membangun dugaan / masalah dengan beberapa hasil baru.

Speedup Eksponensial adalah Generik oleh Fernando GSL Brandão dan Michał Horodecki

Dalam makalah kami [4] kami menggeneralisasi masalah Fourier Memeriksa [1] dan menunjukkan bahwa transformasi Fourier, baik dalam definisi masalah dan dalam penyelesaian algoritma kuantum, dapat digantikan oleh kelas besar sirkuit kuantum. Ini termasuk transformasi Fourier atas setiap kelompok hingga (mungkin non-abelian) dan hampir semua sirkuit kuantum yang cukup panjang dari distribusi alami pada rangkaian sirkuit kuantum. Kami memperoleh pemisahan eksponensial dari kuantum dan kompleksitas kueri klasik terpilih untuk semua sirkuit tersebut.

— ay
sumber

tambahan: Aaronson merumuskan masalah pemeriksaan Fourier secara khusus sebagai rute yang memungkinkan / masuk akal untuk menyelesaikan dalam ref [1] dari kertas Branda.

B Q P ⊈ P H

$BQP\nsubseteq PH$

— vzn