Referensi untuk kelas grafik yang mempertahankan jarak subgraph saat dipesan

12

Katakanlah grafik memiliki properti jika simpulnya dapat dipesan sedemikian rupa sehingga grafik diinduksi oleh simpul memiliki $G$ $M$ $v_1, v_2, \ldots v_n$ $H_i$ $\{v_1, \ldots, v_i\}$ untuk semua . Dengan kata lain, menambahkan simpul berikutnya dalam pemesanan kami tidak memengaruhi metrik jarak grafik saat ini. $dist_{H_i} (v_j, v_k) = dist_G(v_j, v_k)$ $j,k \leq i$

Sebuah contoh dari grafik tersebut adalah biasa jaringan. $n \times n$

Apakah properti atau kelas grafik ini memiliki nama? Sudahkah mereka dipelajari?

reference-request graph-theory

— mich
sumber

Contoh sederhana dari grafik yang tidak memiliki properti ini adalah

cycle untuk

. Ini karena, untuk pemesanan apa pun, subgraf

harus terhubung, dan pada saat

,

adalah garis panjang

, dan beberapa simpul ada dua. jarak

terpisah.

k

$k$

k \geq 5

$k \ge 5$

H_{i}

$H_i$

i = ⌊ k / 2 ⌋ + 2 < k

$i = \lfloor k/2 \rfloor +2 < k$

H_{i}

$H_i$

i - 1

$i-1$

i - 1 > ⌊ k / 2 ⌋

$i-1 > \lfloor k/2 \rfloor$

— Andrew Morgan

Di sisi lain, calon alami untuk menemukan urutan yang baik

adalah dengan melakukan BFS dari pilihan yang sewenang-wenang

. Dengan melihat

sebagai pohon BFS dengan beberapa tepi ekstra, sepertinya satu-satunya halangan untuk memiliki properti

adalah untuk itu menjadi sesuatu yang "seperti"

-siklus untuk

di

. Yang dimaksud dengan "seperti" adalah

cycle

v_{1}, \dots, v_{n}

$v_1, \ldots, v_n$

v_{1}

$v_1$

G

$G$

M

$M$

k

$k$

k \geq 5

$k \ge 5$

G

$G$

k

$k$

dengan

sehingga

di

. Jika kita menyebut siklus semacam itu "minimal", maka apakah benar bahwa properti

setara dengan tidak adanya siklus minimal dengan panjang minimal 5?

v_{1}, \dots, v_{k}, v_{k + 1} = v_{1}

$v_1, \ldots, v_k, v_{k+1}=v_1$

k \geq 5

$k \ge 5$

d (v_{i}, v_{j}) = | i - j |

$d(v_i,v_j) = |i-j|$

G

$G$

M

$M$

— Andrew Morgan

1

k

$k$

8

Tampaknya Anda bertanya tentang grafik yang mengakui urutan eliminasi jarak-pelestarian yang membentuk kelas grafik yang dipelajari dalam makalah ini:

http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S0895480195291230?journalCode=sjdmec

— JimN
sumber

2

Juga tersedia secara bebas di halaman web penulis: lif-sud.univ-mrs.fr/%7Echepoi/dpo.ps

— Florent Foucaud

8

Saya tidak punya jawaban untuk seluruh kelas grafik Anda, tetapi tiga subclass grafik yang memiliki properti ini adalah grafik herediter jarak , grafik chordal , dan grafik median .

$v_1$

Grafik chordal adalah grafik yang memiliki pemesanan dengan properti yang setiap simpul berturut-turut, ketika ditambahkan, memiliki klik untuk tetangganya. Pemesanan ini jelas menjaga jarak.

Demikian pula, grafik median (termasuk contoh kisi Anda) memiliki properti yang, untuk setiap pemesanan pertama, setiap simpul memiliki lingkungan hypercube pada saat ditambahkan. (Lihat halaman 76–77 dari Eppstein et al, "Teori Media", Springer, 2008). Sekali lagi, properti ini berarti bahwa penambahan tidak dapat mengubah jarak di antara simpul sebelumnya.

Ada kelas grafik yang saya tidak tahu namanya, menggeneralisasi grafik kordal dan herediter jarak, yang dapat dikenali dalam waktu polinomial dan yang memiliki properti Anda. Mereka adalah grafik terhubung yang dapat dibangun dari satu titik dengan menambahkan simpul satu per satu, di mana tetangga dari setiap titik baru adalah bagian dari salah satu lingkungan tertutup dari grafik sebelumnya. Mereka hampir (tetapi tidak cukup) sama dengan grafik yang dapat dibuka-tutup, perbedaannya adalah bahwa simpul baru tidak harus berdekatan dengan simpul yang lingkungannya sedang disalin. Urutan eliminasi grafik chordal adalah konstruksi jenis ini di mana setiap simpul baru memilih sub kelompok klik dari lingkungan. Demikian pula grafik herediter jarak memiliki konstruksi jenis ini di mana tetangga dari setiap simpul baru adalah seluruh lingkungan tertutup, lingkungan terbuka, atau satu simpul tunggal. Setiap simpul baru tidak dapat mengubah jarak dari simpul sebelumnya, sehingga urutan konstruksi ini memiliki properti yang Anda cari.

Jika Anda menetapkan titik v menjadi "dilepas" jika itu bisa menjadi yang terakhir dalam urutan ini (memiliki lingkungan terbuka yang merupakan subset dari lingkungan tertutup orang lain) maka menghapus simpul dilepas lainnya tidak mengubah kemampuan penghapusan v : jika lingkungan v adalah himpunan bagian dari Anda, dan kami menghapus Anda sebagai memiliki lingkungan yang merupakan himpunan bagian dari w, maka v masih dapat dilepas karena lingkungannya masih merupakan himpunan bagian dari w's. Oleh karena itu, urutan langkah-langkah penghapusan yang bisa kita ikuti untuk mengambil grafik kembali ke apa-apa membentuk antimunroid, dan satu urutan seperti itu dapat ditemukan dalam waktu polinomial oleh suatu algoritma serakah yang berulang kali menghapus suatu vertex yang dapat dilepas kapan pun ia dapat menemukannya. Membalikkan output dari algoritma ini memberikan urutan konstruksi untuk grafik yang diberikan. Grafik kubus memberikan contoh grafik yang memiliki properti Anda (grafik median) tetapi tidak dapat dibangun dengan cara ini. Saya pikir grafik median yang dapat dibangun dengan cara ini adalah persis persegi kuadrat (yang termasuk kisi-kisi biasa). Grafik yang memiliki urutan konstruksi jenis ini juga mencakup semua grafik yang memiliki verteks universal, seperti grafik roda , sehingga (tidak seperti grafik chordal dan grafik herediter jarak) mereka tidak sempurna dan tidak ditutup di bawah subgraph yang diinduksi.

— David Eppstein
sumber

properti dari kelas grafik ini yang tidak Anda yakini mengingatkan pada pemesanan penghapusan dominasi. Makalah ini tampaknya relevan dengan pertanyaan awal: epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/…

— JimN

Saya pikir pemesanan eliminasi dominatlon mungkin sama dengan dlsmantlability. Tetapi Anda harus menautkan makalah itu dengan jawaban yang sebenarnya, karena "pemesanan penghapusan pelestarian jarak jauh" tampaknya persis seperti yang ditanyakan oleh pertanyaan awal.

— David Eppstein