Kompleksitas jangkauan dalam sistem dinamik linier pada bidang terbatas

Misalkan $A$ menjadi matriks di atas bidang hingga $\mathbb{F}_2 = \{0,1\}$ dan $x$ , $y$ menjadi vektor ruang $\mathbb{F}_2^n$ . Saya tertarik pada kompleksitas komputasi untuk memutuskan apakah ada $t \in \mathbb{N}$ sedemikian rupa sehingga $A^t x = y$ , yaitu, dalam masalah keterjangkauan untuk sistem dinamika linier di atas bidang terbatas.

Masalahnya jelas dalam $\mathbf{NP}$ (tebak $0 \le t < 2^n$ dan hitung $A^t$ dalam waktu polinomial dengan kuadrat ulang). Saya dan rekan-rekan saya juga mampu membuktikan $\mathbf{NP}$ -completeness dari masalah terkait mendirikan apakah ada $t \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $A^t x \ge y$ , di mana $\ge$ ketimpangan componentwise.

Masalah ini tampaknya cukup alami, tetapi saya belum dapat menemukan referensi untuk kompleksitas komputasinya dalam literatur, mungkin karena saya tidak mengetahui terminologi yang tepat. Apakah Anda tahu jika masalah dengan kesetaraan adalah $\mathbf{NP}$ -complete atau jika itu sebenarnya dalam $\mathbf{P}$ ?

cc.complexity-theory reference-request linear-algebra

— Antonio E. Porreca
sumber

Seseorang dapat mengurangi kasus di mana

dapat dibalik. Amati bahwa gambar

adalah rantai subruang yang tidak bertambah, dan karenanya akhirnya menjadi ruang konstan

(pada kenyataannya dalam langkah

pertama ). Maka

adalah transformasi linear dibalik pada

. Satu dapat dengan mudah memeriksa kasus-kasus khusus ketika

, setelah itu hanya untuk menyelesaikan masalah dengan

terbatas pada

dan

A

$A$

A^{1}, A^{2}, \dots

$A^1, A^2, \ldots$

W

$W$

n

$n$

A

$A$

W

$W$

t = 1, 2, \dots, n

$t=1,2,\ldots,n$

A

$A$

W

$W$

x

$x$ digantikan oleh

A^{n} x

$A^n x$

— Andrew Morgan

Untuk kejelasan, saya akan menggeneralisasi pertanyaan Anda menjadi lebih dari karakteristik (dengan bidang dasar ) alih-alih kasus spesifik . Saya akan mengambil dan sebagai konstanta tetap; Saya akan menyerahkan kepada pembaca untuk mencari tahu apa sebenarnya ketergantungan pada parameter ini, karena ada beberapa pengorbanan yang dapat dibuat. Hasil akhirnya di sini adalah bahwa masalah Anda kira-kira setara dengan masalah log diskrit untuk bidang hingga karakteristik . $p > 0$ $\mathbb{F}_q$ $p=q=2$ $p$ $q$ $p$

Untuk lebih spesifik, biarkan masalah log diskrit biasa lebih ekstensi dari akan, mengingat medan perpanjangan dari , dan , menemukan setiap bilangan bulat sehingga , atau laporan bahwa tidak ada . Biarkan kuat masalah log diskrit lebih ekstensi dari akan, mengingat seperti sebelumnya, menemukan bilangan bulat sehingga $\mathbb{F}_q$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{F}_q$ $a,b \in \mathbb{F}$ $t$ $a = b^t$ $\mathbb{F}_q$ $\mathbb{F},a,b$ $z,m$ untuk integer iff, atau laporkan bahwa tidakada. Kemudian ada pengurangan berikut: $a = b^t$ $t$ $t = z \pmod{m}$ $t$

Ada pengurangan pemetaan deterministik dari ekstensi log over diskrit dari untuk masalah Anda. $\mathbb{F}_q$
Ada algoritma yang efisien dan deterministik yang memecahkan masalah Anda ketika diberi akses ke oracle yang menghitung masalah log diskrit yang kuat pada ekstensi . $\mathbb{F}_q$

Karenanya, saya menganggap tidak mungkin seseorang akan memposting bukti -kemampuan atau bukti bahwa masalah Anda ada di dalam waktu dekat. $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$

Catatan: Masalah log diskrit yang kuat atas ekstensi dapat dikurangi menjadi bentuk yang lebih lemah berikut ini (meskipun tampaknya masih lebih kuat daripada masalah log diskret biasa): Diberikan bidang ekstensi dari , dan , temukan bilangan bulat terkecil, non-negatif sehingga . Ini mengikuti dari fakta bahwa urutan adalah satu ditambah non-negatif terkecil sehingga . $\mathbb{F}_q$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{F}_q$ $a,b \in \mathbb{F}$ $t$ $a = b^t$ $b$ $t$ $b^{-1} = b^t$

Reduksi pertama: Klaimnya adalah bahwa masalah log diskrit biasa atas ekstensi dari pemetaan-mengurangi masalah ini Ini mengikuti fakta bahwa perkalian dalam adalah transformasi linear ketika kita melihat sebagai ruang vektor dimensi di atas . Karenanya pertanyaan dari bentuk atas menjadi atas , di mana adalah -dimensi vektor, dan adalah $\mathbb{F}_{q}$ $\mathbb{F}_{q^n}$ $\mathbb{F}_{q^n}$ $n$ $\mathbb{F}_q$ $a = b^t$ $\mathbb{F}_{q^n}$ $\vec{a} = B^t\vec{e}$ $\mathbb{F}_q$ $\vec{a},\vec{e}$ $n$ $B$ $n\times n$ matrix, all . Vektor dapat dengan mudah dihitung dari , dari , dan hanyalah representasi dari , yang dapat ditulis secara efisien . Ini tampaknya masih menjadi kasus sulit dari masalah log diskrit umum, bahkan dengan (tetapi tumbuh , tentu saja). Secara khusus, orang masih berlomba untuk melihat seberapa jauh mereka dapat menghitungnya. $\mathbb{F}_q$ $\vec{a}$ $a$ $B$ $b$ $\vec{e}$ $1 \in \mathbb{F}_{q^n}$ $p=q=2$ $n$

Reduksi kedua: Klaimnya adalah bahwa masalah Anda berkurang menjadi masalah log diskrit yang kuat atas ekstensi . Pengurangan ini memiliki beberapa bagian untuk itu, jadi maafkan panjangnya. Biarkan input menjadi berdimensi vektor dan matriks , seluruh ; tujuannya adalah menemukan sehingga . $\mathbb{F}_q$ $n$ $x,y$ $n\times n$ $A$ $\mathbb{F}_q$ $t$ $y = A^tx$

Ide dasarnya adalah untuk menulis di Jordan canonical form (JCF), dari mana kita dapat mengurangi pengujian untuk masalah log diskrit yang kuat dengan beberapa aljabar langsung. $A$ $y = A^tx$

Salah satu alasan untuk menggunakan bentuk kanonik di bawah kesamaan matriks adalah bahwa jika , maka . Karenanya kita dapat mentransformasikan ke , di mana sekarang berada dalam format yang jauh lebih bagus daripada arbitrer . JCF adalah bentuk yang sangat sederhana, yang memungkinkan sisa dari algoritma. Jadi mulai sekarang, asumsikan bahwa sudah ada di JCF, tetapi juga memungkinkan dan dapat memiliki entri dalam bidang ekstensi . $A = P^{-1}JP$ $A^t = P^{-1}J^tP$ $y = A^tx$ $(Py) = J^t(Px)$ $J$ $A$ $A$ $x,y,$ $A$ $\mathbb{F}_q$

Catatan: Ada beberapa seluk-beluk yang timbul dari bekerja dengan JCF. Khususnya, saya akan berasumsi bahwa kita dapat melakukan operasi lapangan dalam setiap ekstensi (tidak peduli seberapa besar) dalam satu langkah waktu, dan bahwa kita dapat menghitung JCF secara efisien. a priori , ini tidak realistis, karena bekerja dengan JCF mungkin memerlukan bekerja di bidang ekstensi (bidang pemisahan polinom karakteristik) dari derajat eksponensial. Namun, dengan hati-hati, dan menggunakan fakta bahwa kami sedang mengerjakan bidang yang terbatas, kami dapat menghindari masalah ini. Secara khusus, kami akan mengaitkan dengan setiap Jordan memblokir bidang paling banyak lebih dari $\mathbb{F}_q$ $\mathbb{F}'$ $n$ $\mathbb{F}_q$ sehingga semua entri di blok Jordan dan elemen-elemen terkait , semuanya tinggal di dalam . Kolom mungkin berbeda dari blok ke blok, tetapi menggunakan `` representasi campuran' 'ini memungkinkan untuk deskripsi JCF yang efisien, yang juga dapat ditemukan secara efisien. Algoritme yang dijelaskan dalam sisa bagian ini hanya perlu bekerja dengan satu blok pada satu waktu, jadi selama ia melakukan operasi lapangannya dalam bidang terkait , algoritma akan efisien. [komentar akhir] $x$ $y$ $\mathbb{F}'$ $\mathbb{F}'$ $\mathbb{F}'$

Penggunaan JCF memberi kita persamaan bentuk berikut, dengan setiap persamaan yang sesuai dengan blok Jordan:

[\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ ⋮ \\ y_{k - 1} \\ y_{k} \end{matrix}] = {[\begin{matrix} λ & 1 \\ λ & 1 \\ λ & 1 \\ ⋱ \\ λ & 1 \\ λ \end{matrix}]}^{t} [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \\ x_{k - 1} \\ x_{k} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_{k-1} \\ y_{k} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & & & & \\ & \lambda & 1 & & & \\ & & \lambda & 1 & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & & \lambda & 1 \\ & & & & & \lambda \\ \end{bmatrix}^t \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_{k-1} \\ x_{k} \\ \end{bmatrix}$

Algoritma akan menangani setiap blok secara terpisah. Dalam kasus umum, untuk setiap blok, kami akan memiliki pertanyaan untuk oracle log diskrit kami yang kuat, dari mana oracle akan memberi tahu kami kondisi modularitas, . Kami juga akan mendapatkan set sehingga harus tahan . Setelah memproses semua blok, kita perlu memeriksa bahwa ada pilihan yang memenuhi konjungsi dari semua kondisi ini. Hal ini dapat dilakukan dengan memastikan ada unsur umum di seluruh set sehingga persamaan dan $t = z \pmod{m}$ $S \subseteq \{0,1,\cdots,p-1\}$ $\bigvee_{s\in S}\left[ t = s \pmod{p} \right]$ $t$ $s$ $S$ $t = s \pmod p$ $t = z_j \pmod{m_j}$ semua puas secara bersamaan, di mana berkisar di atas blok. $j$

Ada juga beberapa kasus khusus yang muncul sepanjang prosedur. Dalam kasus ini, kita akan mendapatkan kondisi dalam bentuk untuk beberapa nilai , atau dari bentuk untuk beberapa tertentu bilangan bulat , dari blok tertentu, atau kita mungkin bahkan menemukan bahwa ada bisa eksis . Ini dapat dimasukkan ke dalam logika untuk kasus umum tanpa masalah. $t > \ell$ $\ell$ $t = s$ $s$ $t$

Kami sekarang menjelaskan prosedur untuk menangani setiap blok Jordan. Perbaiki blok seperti itu.

Mulailah dengan fokus hanya pada koordinat terakhir di blok. Kondisi mengharuskan . Dengan kata lain, ini adalah contoh dari masalah log diskrit dalam beberapa ekstensi bidang . Kami kemudian menggunakan oracle untuk menyelesaikannya, yang menghasilkan tidak ada solusi, atau memberikan kondisi modularitas pada . Jika "tidak ada solusi" dikembalikan, kami kembali menunjukkan itu. Kalau tidak, kita mendapatkan kondisi , yang setara dengan . $y = A^tx$ $y_k = \lambda^t x_k$ $\mathbb{F}_q$ $t$ $t = z \pmod{m}$ $y_k = \lambda^t x_k$

Untuk menangani koordinat lain, kita mulai dengan rumus berikut (lihat, misalnya, di sini ):

{[\begin{matrix} λ & 1 \\ λ & 1 \\ λ & 1 \\ ⋱ \\ λ & 1 \\ λ \end{matrix}]}^{t} = [\begin{matrix} λ^{t} & (\binom{t}{1}) λ^{t - 1} & (\binom{t}{2}) λ^{t - 2} & \dots & \dots & (\binom{t}{k - 1}) λ^{t - k + 1} \\ λ^{t} & (\binom{t}{1}) λ^{t - 1} & \dots & \dots & (\binom{t}{k - 2}) λ^{t - k + 2} \\ ⋱ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ λ^{t} & (\binom{t}{1}) λ^{t - 1} \\ λ^{t} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \lambda & 1 & & & & \\ & \lambda & 1 & & & \\ & & \lambda & 1 & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & & \lambda & 1 \\ & & & & & \lambda \\ \end{bmatrix}^t = \begin{bmatrix} \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1} & \binom{t}{2}\lambda^{t-2} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-1}\lambda^{t-k+1} \\ & \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-2}\lambda^{t-k+2} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ & & & \ddots & \ddots & \vdots\\ & & & & \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1}\\ & & & & & \lambda^t \end{bmatrix}$ \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ & & & & & lambda ^ t & \ binom {t} {1} \ lambda ^ {t-1} \\ & & & & & & & lambda ^ t \ end {bmatrix } Pertama, mari kita selesaikan kasus ini

x_{k} = 0

$x_k = 0$ . Karena kita sudah memiliki kondisi modularitas yang menyiratkan , kita dapat mengasumsikan bahwa juga. Tapi kemudian kita bisa mengurangi untuk fokus pada entri pertama dan , dan submatrix kiri dari blok Jordan. Jadi mulai sekarang, asumsikan .

y_{k} = λ^{t} x_{k}

$y_k = \lambda^t x_k$

y_{k} = 0

$y_k = 0$

k - 1

$k-1$

x

$x$

y

$y$

(k - 1) \times (k - 1)

$(k-1)\times (k-1)$

x_{k} \neq 0

$x_k \ne 0$

Kedua, kami akan menangani kasus di mana . Dalam hal ini, kekuatan blok Jordan memiliki bentuk khusus, dan memaksa baik untuk beberapa , atau , tanpa syarat lain. Saya tidak akan mengulangi kasus, tetapi cukup untuk mengatakan bahwa masing-masing dapat diperiksa secara efisien. (Atau, kita dapat mengurangi kasus di mana tidak dapat dibalik; lihat komentar saya pada pertanyaan.) $\lambda = 0$ $t = z$ $z \le k$ $t > k$ $A$

Akhirnya, kami sampai pada kasus umum. Karena kita sudah memiliki kondisi modularitas yang menyiratkan bahwa , kita dapat mengasumsikan kondisi itu berlaku, dan menggunakan sebagai . Secara umum, kita dapat menggunakan untuk mewakili . Jadi kita perlu memeriksa apakah sistem berikut ini berlaku untuk beberapa pilihan : $y_k = \lambda^t x_k$ $y_k x_k^{-1}$ $\lambda^t$ $y_kx_k^{-1}\lambda^{-z}$ $\lambda^{t-z}$ $t$

[\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ ⋮ \\ y_{k - 1} \\ y_{k} \end{matrix}] = [\begin{matrix} y_{k} x_{k}^{- 1} & (\binom{t}{1}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- 1} & (\binom{t}{2}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- 2} & \dots & \dots & (\binom{t}{k - 1}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- (k - 1)} \\ y_{k} x_{k}^{- 1} & (\binom{t}{1}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- 1} & \dots & \dots & (\binom{t}{k - 2}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- (k - 2)} \\ ⋱ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ y_{k} x_{k}^{- 1} & (\binom{t}{1}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- 1} \\ y_{k} x_{k}^{- 1} \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \\ x_{k - 1} \\ x_{k} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_{k-1} \\ y_{k} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1} & \binom{t}{2}y_kx_k^{-1}\lambda^{-2} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-(k-1)} \\ & y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-2}y_kx_k^{-1}\lambda^{-(k-2)} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ & & & \ddots & \ddots & \vdots\\ & & & & y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1}\\ & & & & & y_kx_k^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_{k-1} \\ x_{k} \\ \end{bmatrix}$ y_kx_k ^ {- 1} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \ vdots \\ x_ {k-1} \\ x_ {k} \\ \ end {bmatrix} Perhatikan itu apakah persamaan memegang hanya bergantung pada ; ini karena ketergantungan pada hanya polinomial,

t (\mod p)

$t \pmod{p}$

t

$t$

t

$t$ harus bilangan bulat, dan persamaan di atas adalah bidang karakteristik . Karenanya kita bisa mencoba setiap nilai secara terpisah. Himpunan akan kami kembalikan hanyalah pilihan yang membuat sistem puas.

p

$p$

t \in {0, 1, \dots, p - 1}

$t \in \{0,1,\ldots,p-1\}$

S

$S$

t

$t$

Jadi sekarang, kecuali untuk beberapa kasus khusus, per-blok telah menemukan kondisi modularitas , dan himpunan sehingga salah satu dari harus tahan untuk beberapa . Kondisi ini setara dengan dalam blok Jordan spesifik ini. Jadi kami mengembalikan ini dari sub-prosedur. Kasus-kasus khusus menyimpulkan bahwa tidak ada (di mana kasus prosedur segera mengembalikan indikasi itu), atau kita memiliki kondisi modularitas dan beberapa kondisi khusus seperti untuk integer , atau untuk bilangan bulat $t = a \pmod{m}$ $S$ $t = s \pmod{p}$ $s \in S$ $y = A^tx$ $t$ $t = a \pmod{m}$ $t = s$ $s$ $t > \ell$ $\ell$ . Bagaimanapun, kondisi yang terlibat semuanya setara dengan dalam blok Jordan ini. Jadi, seperti yang disebutkan di atas, prosedur hanya mengembalikan kondisi ini. $y = A^tx$

Ini menyimpulkan spesifikasi dari sub-prosedur per-blok, dan algoritma secara keseluruhan. Itu benar dan efisiensi mengikuti dari diskusi sebelumnya.

Seluk-beluk dengan menggunakan JCF dalam reduksi kedua: Seperti disebutkan dalam reduksi kedua, ada beberapa kehalusan yang muncul dari bekerja dengan JCF. Ada beberapa pengamatan untuk mengurangi masalah ini:

Ekstensi bidang terbatas adalah normal . Ini berarti bahwa jika adalah sebuah tereduksi polinomial lebih , maka setiap perpanjangan mengandung akar mengandung semua akar . Dengan kata lain, bidang pemisah dari polinomial dengan derajat dapat direduksi hanya memiliki derajat atas . $P$ $\mathbb{F}_q$ $\mathbb{F}_q$ $P$ $P$ $P$ $d$ $d$ $\mathbb{F}_q$
Ada generalisasi bentuk kanonik Jordan, yang disebut bentuk kanonik rasional primer (PRCF), yang tidak memerlukan ekstensi lapangan untuk dituliskan. Secara khusus, jika adalah matriks dengan entri dalam , maka kita dapat menulis untuk beberapa matriks dengan entri dalam , di mana lebih lanjut ada di PRCF. Selain itu, jika kita berpura-pura bahwa entri langsung di bidang extending yang berisi semua nilai eigen , maka $A$ $\mathbb{F}_q$ $A = P^{-1}QP$ $P,Q$ $\mathbb{F}_q$ $Q$ $A$ $\mathbb{F}'$ $\mathbb{F}_q$ $A$ $Q$ sebenarnya akan berada di JCF. Dengan demikian kita dapat melihat komputasi JCF sebagai kasus khusus menghitung PRCF. $A$
Dengan menggunakan bentuk PRCF, kita dapat menghitung faktor JCF sebagai $A$
1. menghitung PRCF dari over $A$ $\mathbb{F}_q$
2. menghitung PRCF dari setiap blok (meminjam notasi dari artikel Wikipedia) di RRCF , pada bidang ekstensi , di mana dipilih untuk memuat semua nilai eigen $C$ $A$ $\mathbb{F}'$ $\mathbb{F}'$ $C$
Keuntungan utama dengan faktorisasi ini adalah bahwa polinomial karakteristik dari blok semuanya akan dapat direduksi , dan karenanya, dengan pengamatan pertama kami, kami dapat memilih untuk memiliki derajat ukuran (yang paling banyak ) lebih dari . Kelemahannya adalah bahwa sekarang kita harus menggunakan bidang ekstensi yang berbeda untuk mewakili setiap blok JCF, sehingga representasi tidak khas dan rumit. $C$ $\mathbb{F}'$ $C$ $n$ $\mathbb{F}_q$

Dengan demikian, diberikan kemampuan untuk menghitung PRCF secara efisien, kita bisa menghitung encoding cocok dari JCF efisien, dan encoding ini adalah agar bekerja dengan setiap blok tertentu dari JCF dapat dilakukan dalam bidang perluasan tingkat paling lebih . $n$ $\mathbb{F}_n$

Sedangkan untuk menghitung PRCF secara efisien, makalah " A Canonical Form Algorithm " (KR Matthews, Math. Bohemica 117 (1992) 315-324) memberikan algoritma yang efisien untuk menghitung PRCF ketika faktorisasi polinomial karakteristik dari diketahui. . Untuk karakteristik tetap (seperti yang kita miliki), memfaktorkan polinomial univariat pada bidang terbatas dapat dilakukan dalam waktu polinomial deterministik (lihat misalnya " Pada Algoritma Faktorisasi Baru untuk Polinom atas Bidang Hingga " (H. Niederreitter dan R. Gottfert, Math. Of Komputasi 64 (1995) 347-353).), Sehingga PRCF dapat dihitung secara efisien. $A$

— Andrew Morgan
sumber

Bisakah JCF dihitung secara efisien? Bagaimanapun, keberadaannya mungkin perlu memperluas lapangan.

— Emil Jeřábek

@ EmilJeřábek Terima kasih- Saya kira saya telah bekerja di bawah asumsi implisit bahwa itu mudah, tetapi saya tidak benar-benar tahu secara spesifik. Tampaknya sangat terkait dengan memfaktorkan polinomial univariat atas bidang yang terbatas, yang dapat dilakukan cukup efisien untuk tujuan di atas, setidaknya menurut Wikipedia . ...

— Andrew Morgan

Jadi tebakan saya adalah bahwa JCF dapat ditemukan secara efisien, tetapi saya tidak sepenuhnya yakin. Anda menyebutkan harus memperluas bidang-ini diperlukan untuk pengurangan (log diskrit atas bidang hingga ukuran konstan adalah mudah), jadi seharusnya tidak mengejutkan. Saya khawatir tentang tingkat ekstensi meskipun- sementara nilai eigen hanya memiliki tingkat , nilai dan adalah kombinasi linear dari nilai daya eigen, jadi mereka mungkin perlu hidup dalam bidang ukuran. Saya akan mencatat kemungkinan jebakan ini dalam jawaban saya, meskipun saya pikir itu masih menyumbang ide yang cukup untuk tinggal di sekitar.

n

$n$

x_{i}

$x_i$

y_{i}

$y_i$

n!

$n!$

— Andrew Morgan

Baik. Elemen-elemen hidup dalam bidang pemisahan dari polinomial karakteristik dari matriks, yang mungkin merupakan polinomial sembarang dari derajat n, sehingga bidang pemisah mungkin memiliki tingkat setinggi kira-kira (jika perhitungan saya benar). Tapi mungkin ini bisa dielakkan entah bagaimana. Mari kita pisahkan faktor char (bahkan faktorisasi derajat yang berbeda sudah cukup). Bisakah kita entah bagaimana mengidentifikasi ruang eigens yang sesuai dengan akar setiap faktor? Artinya, alih-alih JCF penuh, kami akan mendapatkan matriks diagonal blok di atas bidang asli, di mana setiap blok akan memiliki nilai eigen ...

\exp (\sqrt{n \log n})

$\exp(\sqrt{n\log n})$

— Emil Jeřábek

... dalam perpanjangan gelar paling banyak . Maka kami mungkin dapat memproses setiap blok secara terpisah. (Ini hanya gagasan yang kabur, saya belum mencoba menyelesaikannya.)

n

$n$

— Emil Jeilábek