Apakah ada masalah lengkap NP tanpa subset instance sedemikian sehingga keanggotaan dalam dapat diputuskan dalam waktu polinomial, dan untuk semua , dapat diselesaikan dalam waktu polinomial? (Dengan asumsi )Φ x ∈ Φ x P ≠ N P.
Jawaban:
Lihat jawaban Josh Grochow untuk superset Poly time dari bahasa lengkap NP dengan banyak sekali string yang dikecualikan darinya . Menurut jawaban itu, di bawah beberapa asumsi kriptografi alami, untuk setiap masalah co-NP-complete ada subset tak terbatas dari contoh sedemikian sehingga keanggotaan dalam adalah waktu polinomial, dan masalah keputusan terbatas pada adalah sepele (jawaban selalu tidak).Φ Φ
Ini dapat diformalkan dengan menyatakan bahwa tidak ada set lengkap co-NP adalah P-imun. Diketahui juga (lagi dengan asumsi kriptografi) bahwa tidak ada set NP-lengkap yang P-imun. Jadi ada subset tak terbatas sehingga keanggotaan dalam dapat diuji waktu polinomialnya dan masalah keputusan terbatas pada selalu punya jawaban ya. Lihat misalnya Glasser et al., "Properti Set NP-Lengkap", SICOMP 2006, doi: 10.1137 / S009753970444421X .Φ ′ Φ ′
Pengamatan pertama adalah bahwa memiliki persis apa yang Anda minta akan menjadi bukti bahwa karena akan menyiratkan bahwa himpunan semua contoh tidak dapat diselesaikan dalam waktu polinomial.
Namun, dan saya pikir itulah yang Anda maksudkan, kami dapat bermain sedikit dengan apa yang kami maksud dengan "diselesaikan dalam waktu polinomial". Jika kita maksudkan dengan itu semua himpunan bagian tak terbatas dari contoh yang keanggotaannya di P adalah N P -lengkap, maka jawabannya tidak oleh Teorema Mahaney ( http://blog.computationalcomplexity.org/2007/06/sparse-sets-tribute -to-mahaney.html ). Teorema ini menyatakan bahwa tidak ada masalah NP-lengkap dapat jarang kecuali P = N P . Sekarang, dengan mengambil himpunan bagian dari instance { 0 i ∣ i ∈ N } , kami memiliki himpunan bagian yang jarang yang tidak terbatas untuk instance pengujian keanggotaan yang tidak bisa menjadi N P -Lengkap kecuali P = N P oleh Teorema Mahaney.