Masalah Multi-cut

12

Saya mencari nama atau referensi apa pun untuk masalah ini.

Diberikan grafik berbobot menemukan partisi dari simpul ke hinggaset untuk memaksimalkan nilai edge cut: Perhatikan bahwa beberapa set bisa kosong. Jadi masalahnya pada dasarnya adalah max k-cut, kecuali bukan bagian dari input: algoritma dapat memilih $G = (V, E, w)$ $n = |V|$ $S_1,\ldots,S_n$

c (S_{1}, \dots, S_{n}) = \sum_{i \neq j} (\sum_{(u, v) \in E : u \in S_{i}, v \in S_{j}} w (u, v))

$c(S_1,\ldots,S_n) = \sum_{i \ne j}\left(\sum_{(u,v)\in E : u \in S_i, v \in S_j}w(u,v)\right)$

S_{i}

$S_i$

k

$k$

k

$k$ itu suka untuk memaksimalkan nilai dari tepi potong. Jelas, masalahnya sepele jika bobot tepi adalah non-negatif: cukup tempatkan setiap simpul sendirian di set sendiri, dan Anda memotong semua tepi. Tapi, untuk membuat hal-hal menarik, tepi bobot negatif diizinkan.

Apakah ini masalah yang dipelajari? Referensi untuk hasil algoritmik atau kekerasan akan dihargai!

— Aaron Roth
sumber

2

Untuk mendapatkan lebih banyak intuisi tentang masalah ini, apa yang Anda ketahui tentang kasus khusus sederhana? Misalnya, bagaimana jika bobotnya hanya atau ? Bagaimana jika adalah grafik lengkap dan bobotnya adalah ?

+ 1

$+1$

- 1

$-1$

G

$G$

\pm 1

$\pm 1$

— Jukka Suomela

11

Masalahnya adalah varian dari Correlation Clustering (CC) Bansal, N., Blum, A. dan Chawla, S. (2004). "Clustering Korelasi". Machine Learning Journal (Edisi Khusus tentang Kemajuan Teoritis dalam Pengelompokan Data, hal. 86–113, doi: 10.1023 / B: MACH.0000033116.57574.95.

Formulasi CC asli adalah pada grafik lengkap dan untuk setiap sisi kami memiliki dua bobot: dan . Dengan diberi partisi , misalkan sama dengan jika dan berada dalam kluster dan . Maka nilai partisi dari adalah . $G$ $(v,w)$ $a(v,w)$ $b(v,w)$ $P$ $c_P(v,w)$ $a(v,w)$ $v$ $w$ $P$ $b(v,w)$ $P$ $V$ $\sum_{v,w} c(v,w)$

Masalah Anda setara dengan untuk semua v, w dan memungkinkan negatif (kertas asli hanya diperbolehkan + 1, -1 bobot). Makalah Erik D. Demaine, Dotan Emanuel, Amos Fiat, Nicole Immorlica: Pengelompokan korelasi dalam grafik umum tertimbang. Teor Komputasi. Sci. 361 (2-3): 172-187 (2006) http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2006.05.008 memberikan algoritme aproksimasi untuk umum (mis. Tidak lengkap) grafik. Saya percaya ini dapat diperluas juga untuk masalah Anda, dan saya tidak akan mengesampingkan perkiraan faktor konstan. $a(v,w)=0$ $b(v,w)$ $O(\log n)$

PTAS yang dijelaskan didasarkan pada teknik pemrograman polinomial yang lancar: dalam kasus paling umum saya tidak berpikir masalah Anda akan memenuhi persyaratan teknik.

— Gianluca Della Vedova
sumber

18

Saya tidak tahu referensi apa pun, tetapi saya dapat menunjukkan bahwa itu NP-lengkap, melalui pengurangan dari pewarnaan grafik.

Diberi grafik G dan sejumlah k warna yang digunakan untuk mewarnai G, buat grafik baru G 'yang terdiri dari G bersama dengan k simpul baru, sedemikian sehingga setiap simpul baru terhubung ke setiap simpul di G. Tetapkan bobot + kn untuk setiap tepi G, bobot + kn ke setiap tepi yang menghubungkan dua simpul baru k, dan bobot -1 untuk masing-masing tepi yang menghubungkan k simpul baru ke G.

Kemudian, jika G dapat diwarnai k, pewarnaan (bersama dengan partisi yang menetapkan masing-masing simpul baru ke salah satu kelas warna) mencapai bobot total kn (m + k (k-1) / 2) - (k -1) n.

Di arah lain, jika Anda memiliki partisi yang mencapai berat total ini, maka ia harus memotong semua tepi G, dan semua tepi antara pasangan simpul baru. Memotong semua tepi G mendefinisikan pewarnaan G, dan memotong tepi antara pasangan simpul baru menyiratkan bahwa setiap simpul G dapat berdekatan paling banyak dengan salah satu simpul baru k. Oleh karena itu, untuk mendapatkan istilah optimal - (k-1) n dalam bobot, setiap simpul G harus berdekatan dengan salah satu simpul baru, dan oleh karena itu hanya dapat terdapat kelas warna k dalam pewarnaan yang ditentukan oleh partisi.

Yaitu, partisi dengan batas bobot yang diberikan berkorespondensi 1-1 dengan k-colorings G, jadi ini mendefinisikan pengurangan dari pewarnaan ke masalah partisi Anda.

— David Eppstein
sumber

11

Izinkan saya melengkapi bukti kelengkapan NP yang bagus dari David dengan menambahkan referensi ke kasus khusus yang diajukan oleh Jukka dalam komentar pada pertanyaan. Jika grafik adalah grafik lengkap dan bobot tepi dibatasi hingga ± 1, masalahnya setara dengan masalah NP-lengkap yang dikenal sebagai Cluster Editing.

Editing Cluster adalah masalah berikut yang diperkenalkan oleh Shamir, Sharan dan Tsur [SST04]. Di sini, grafik kluster adalah grafik yang merupakan gabungan dari klik-simpul yang saling terpisah dan hasil edit adalah penambahan atau penghapusan satu sisi.

Contoh Penyuntingan Cluster : Grafik G = ( V , E ) dan integer k ∈ℕ.
Pertanyaan : Apakah mungkin untuk mengubah G menjadi grafik klaster paling banyak k editan?

Pengeditan Cluster adalah NP-complete [SST04].

Untuk melihat Pengeditan Cluster setara dengan kasus khusus yang disebutkan sebelumnya dari masalah saat ini, misalkan G = ( V , E ) menjadi grafik. Biarkan n = | V | dan anggap G sebagai subgraf grafik lengkap K _n . Di K _n , memberikan bobot -1 ke tepi di G dan berat 1 ke tepi tidak dalam G . Kemudian G dapat diubah menjadi grafik klaster dengan paling banyak k editan jika dan hanya jika ada partisi ( S ₁ , ..., S _n ) sedemikian rupa sehingga c ( S ₁ , ...,S _n ) ≥ - | E | - k untuk grafik lengkap tertimbang ini K _n . $\binom{n}{2}$

[SST04] Ron Shamir, Roded Sharan dan Dekel Tsur. Masalah modifikasi grafik cluster. Discrete Applied Mathematics , 144 (1-2): 173–182, November 2004. http://dx.doi.org/10.1016/j.dam.2004.01.007

— Tsuyoshi Ito
sumber