Ada beberapa aspek untuk pertanyaan yang sangat bagus ini, jadi saya akan menyusun jawaban ini sesuai dengan itu.
1. Jawaban untuk pertanyaan dalam kotak adalah tidak . Istilah disarankan oleh teman Anda memang merupakan contoh tandingan.Ω3=(λx.xxx)(λx.xxx)
Sebelumnya diperhatikan dalam komentar bahwa seseorang memiliki contoh tandingan seperti "raksasa" , sampai pertanyaan dibatasi untuk persyaratan tanpa bentuk normal lemah kepala. Istilah tersebut dikenal sebagaiistilah nol. Ini adalah istilah yang tidak pernah direduksi menjadi lambda, di bawah substitusi apa pun.K∞=YK
Untuk setiap combinator titik tetap (fpc) , Y I adalah istilah yang disebut bisu (AKA "root-active"): setiap reduksi mengurangi lebih jauh ke redex.YYI
tidak bisu; tidak ada yang Ω 3 - seperti manifes dengan memeriksa set reductnya, yaitu
{ Ω 3 ( λ x . x x x ) ⋯ ( λ x . x x x ) ⏟ k ∣ k ∈ N }K∞Ω3 −
{Ω3(λx.xxx)⋯(λx.xxx)k∣k∈N}
Daripada memberikan argumen yang tepat mengapa bisu untuk semua fpcs Y (memang, untuk penggabung perulangan) - yang mungkin melelahkan namun mudah-mudahan cukup jelas - saya akan memperlakukan generalisasi yang jelas dari pertanyaan Anda, membatasi untuk menonaktifkan istilah juga.YIY−−
Istilah bisu adalah subkelas dari istilah nol yang merupakan subkelas dari istilah yang tidak dapat diselesaikan. Bersama-sama ini mungkin merupakan pilihan yang paling populer untuk konsep "tidak berarti" atau "tidak terdefinisi" dalam kalkulus lambda, yang sesuai dengan pohon Berarducci, Levy-Longo, dan B ohm yang sepele secara berurutan, masing-masing. telah dianalisis secara rinci oleh Paula Severi dan Fer-Jan de Vries. [1] Istilah bisu merupakan elemen dasar dalam kisi ini, yaitu gagasan paling ketat tentang "tidak terdefinisi".
2. Misalkan menjadi istilah bisu, dan Y menjadi combinator perulangan dengan properti yang Y saya = M .MYYI=M
Pertama kita berpendapat bahwa, untuk variabel segar , Y z benar-benar terlihat banyak seperti Y M Anda dijelaskan, diperoleh dengan "percikan z sekitar" beberapa mengecil dari M .zYzYMzM
Oleh Church-Rosser, dan M memiliki reduksi bersama, M ′ . Ambil standar reduksi R : Y Saya ↠ s M ' . Setiap subterm M ′ bersesuaian dengan subterm unik Y I ≡ Y z [ z : = I ] di bawah reduksi ini. Untuk setiap subterm C [ N ] = M ′ , faktor R sebagai Y I ↠ C [YIMM′R:YI↠sM′M′YI≡Yz[z:=I]C[N]=M′R , di mana kaki tengah merupakan reduksi kepala yang lemah (dan kaki terakhir adalah internal). N "dijaga" oleh z jika leg kedua ini mengontrak beberapa redex I P , dengan I turunan dari substitusi [ z : = I ] .Ysaya↠ C[ N0] ↠w hC[ N1] ↠sayaC[ N]NzsayaPsaya[ z: = I]
Jelas, harus menjaga beberapa subterms M , karena jika tidak maka akan bisu juga. Di sisi lain, harus berhati-hati untuk tidak menjaga subterma yang diperlukan untuk non-terminasi, karena jika tidak, ia tidak dapat mengembangkan pohon B \ "ohm tak terbatas dari kombinator pengulangan.YM.
Karena itu cukup untuk menemukan istilah bisu di mana setiap subterm, dari setiap reduksi, diperlukan untuk non-normalisasi, dalam arti bahwa menempatkan variabel di depan subterm itu menghasilkan istilah normalisasi.
Pertimbangkan , di mana W = λ w . w aku w w . Ini seperti Ω , tetapi pada setiap iterasi, kami memeriksa bahwa kemunculan W dalam posisi argumen tidak "diblokir" oleh variabel head, dengan memberinya identitas. Menempatkan z di depan subterm apa pun pada akhirnya akan menghasilkan bentuk normal z P 1 ⋯ P k , di mana masing-masing P i adalah I , W atau " z- sprinkling". Jadi ΨΨ = WWW= λ w . w Iw wΩWzzP1⋯ P.kPsayasayaWzΨ adalah contoh tandingan terhadap pertanyaan umum.
DALIL. Tidak ada kombinator pengulangan sehingga Y I = Ψ .YYsaya= Ψ
BUKTI. Himpunan semua reducts dari adalah { W W , W I W W , saya saya saya saya W W , saya saya saya W W , saya saya W W , saya W W } . Agar dapat dikonversi dengan Ψ , Y saya harus mengurangi salah satunya. Argumennya identik dalam semua kasus; untuk konkrit, misalkan Y saya ↠ saya Saya W W .Ψ{ WW, WsayaWW, sayasayasayasayaWW, sayasayasayaWW, sayasayaWW, sayaWW}ΨYsayaYsaya↠ sayasayaWW
Setiap penurunan standar dapat diperhitungkan sebagai
Y saya ↠ w P N 4 , P ↠ w Q N 3 , Q ↠ w N 1 N 2 , sehingga Y saya ↠ w N 1 N 2 N 3 N 4 N 1 ↠ I , N 2 ↠ I , N 3Ysaya↠ssayasayaWW
Ysaya↠wPN4, P↠wQ N3, Q ↠wN1N2, demikian Ysaya↠wN1N2N3N4N1↠ saya, N2↠ saya, N3↠ W, N4↠ W
Mari kita merujuk pada reduksi sebagai R 0 , dan reduksi dimulai dari N i sebagai R i .Ysaya↠wN1N2N3N4R0NsayaRsaya
Pengurangan ini dapat diangkat melalui substitusi untuk menghasilkan
R z 0 : Y z ↠ z k ( M 1 M 2 M 3 M 4 ) N i ≡ M i [ z : = Saya ]
sehingga R 0 adalah komposisi Y I R z 0 [ z : = I ] ↠ I[ z: = I]
Rz0: Yz↠ zk( M.1M.2M.3M.4)Nsaya≡ M.saya[ z: = I]
R0 .
Ysaya↠Rz0[ z: = I]sayak( N1⋯ N4) ↠kwN1⋯ N4
Demikian pula, kita dapat mengangkat setiap sebagai
R z i : M i ↠ N z i R i : N i R z i [ z : = I ] ↠ N z i [ z : = I ] ↠ I NRsaya: Nsaya↠ N∈ { saya, W}
Rzsaya: Msaya↠ NzsayaRsaya: Nsaya↠Rzsaya[ z: = I]Nzsaya[ z: = I] ↠sayaN
Bagian kedua dari faktorisasi ini tepatnya terdiri dari mengontrak I -redex yang dibuat oleh subtitusi N z i [ z : = I ] . (Khususnya, karena N adalah bentuk normal, begitu juga N z i .)RsayasayaNzsaya[ z: = I]NNzsaya
NzsayazNzNN∈ { saya, W}Nzsaya
zk1( λ x . zk2( x ) )zk1( Λ w . Zk2( zk3( zk5( zk7( w ) zk8( λ x . zk9( x ) ) ) zk6( w ) ) zk4( w ) ) )
M.1M.2M.3M.4↠ Nz1Nz2Nz3Nz4Nzsayazsayai = 1 , 2Wi = 3 , 4
Nz1Nz2Nz3Nz4z( z( z( ⋯ ) ) )zkjNzsaya
Nzsayasaya ≤ 4kjj ≤ 2 + 7 ⌊ i - 12⌋
WsayasayaWWWz= λ w . z( W Iw w )
sayasayaWWz→ sayaWWz→ WWz→ WzsayaWzWz→ z( Sayasayasayasaya) WzWz↠ zsayaWzWz
Ω
zM.N= λ z. M.zNsaya= M
Ysaya= MYM.zM.↦ YM.M.YM.M.
Y⌈ M.⌉ z= { z( Y⌈ P.[ x : = Q ] ⌉ z)Y⌈ N⌉ zM.≡ ( λ x . P) QM. bukan redex dan M→w hN
[1] Severi P., de Vries FJ. (2011) Menguraikan Kisi-Kisi Set Yang Tidak Berarti dalam Kalkulus Infinitary Lambda. Dalam: Beklemishev LD, de Queiroz R. (eds) Logika, Bahasa, Informasi dan Komputasi. WoLLIC 2011. Catatan Kuliah di Ilmu Komputer, vol 6642.
[2] Richard Statman. Tidak ada kombinator S, K yang berulang. Laporan Penelitian 91–133, Departemen Matematika, Universitas Carnegie Mellon, Pittsburgh, PA, 1991.