Pencocokan pola dengan tidak peduli: banyak pola

Makalah SODA 2 halaman Kalai memberikan algoritma yang sederhana dan efisien untuk pencocokan pola dengan tidak peduli (wildcard yang cocok dengan satu karakter). Intinya, semudah berbelit-belit.

Tetapi apa yang terjadi jika kita mencari beberapa pola dengan tidak peduli? Bisakah kita masih menyelesaikannya misalnya dengan teknik berbasis FFT?

Untuk kasus pola berganda, tampaknya hanya memindai untuk masing-masing mungkin solusi terbaik, setidaknya kecuali hipotesis waktu eksponensial yang kuat gagal.

Ingat bahwa set yang diberikan dan T 1 , T 2 , ... , T n di atas alam semesta [ m ] , jika kita dapat memutuskan apakah ada S i dan T j sehingga S i ∪ T j = [ m ] dalam waktu O ( n 2 - ε poli ( m ) $S_1, S_2, \dotsc, S_n$$T_1, T_2, \dotsc, T_n$$[m]$$S_i$$T_j$$S_i \cup T_j = [m]$$O(n^{2-\varepsilon}\operatorname{poly}(m))$, maka SETH gagal, yaitu kita memiliki algoritma CNF-SAT dengan waktu berjalan .$O^*\bigl(2^{(1-\varepsilon/2)n}\bigr)$

Diberikan set dan T 1 , T 2 , ... , T n , kami menyandikan masalah di atas sebagai pencocokan multi-pola dengan tidak peduli pada alfabet biner sebagai berikut:$S_1, S_2, \dotsc, S_n$$T_1, T_2, \dotsc, T_n$

• Teksnya adalah mana [ T i ] adalah penyandian alami T i sebagai string biner. $$1[T_1]10^{m+2}1[T_2]10^{m+2}\dots0^{m+2}1[T_n]1\,,$$ $[T_i]$$T_i$
• Kami memiliki pola bentuk 1 ⟨ S i ⟩ 1 , di mana ⟨ S i ⟩ adalah string y = y 1 y 2 ... y m sehingga y j = 1 jika j ∉ S i dan y j = * jika j ∈ S i (di sini ∗ adalah simbol tidak peduli).$n$$1\langle S_i \rangle 1$$\langle S_i \rangle$$y = y_1y_2\dots y_m$$y_j = 1$$j \notin S_i$$y_j = *$$j \in S_i$$*$

Sekarang jelas bahwa pola dapat mencocokkan teks pada terjadinya 1 [ T j ] 1 , dan hanya jika S i ∪ T j = [ m ] . Total panjang dari pola dan panjang teks keduanya O ( n m ) , misalnya sehingga algoritma single-pass linear dekat-untuk beberapa pola akan memberikan substansial perbaikan lebih dikenal algoritma CNF-SAT ...$1\langle S_i \rangle 1$$1[T_j]1$$S_i \cup T_j = [m]$$O(nm)$

(Perhatikan bahwa ini tidak mengatakan apa pun tentang algoritma yang menggunakan banyak waktu untuk memproses ulang pola, katakanlah, kuadratik dalam total panjang pola.)