Generalisasi teorema Dilworth untuk DAG berlabel

Sebuah antichain dalam DAG adalah bagian dari simpul yang berpasangan terjangkau, yaitu, tidak ada sehingga dapat dicapai dari di . Dari teorema Dilworth dalam teori urutan parsial, diketahui bahwa jika DAG tidak memiliki ukuran antik dari ukuran , maka dapat didekomposisi dalam penyatuan paling banyak rantai terpisah , yaitu jalur yang diarahkan. $(V, E)$ $A \subseteq V$ $v \neq v' \in A$ $v$ $v'$ $E$ $k \in \mathbb{N}$ $k-1$

Sekarang, saya tertarik pada DAG berlabel , yaitu, DAGs di mana setiap simpul membawa label dalam beberapa set label tetap yang terbatas . Diberi antichain , saya dapat mendefinisikan ukurannya sebagai jumlah minimal kemunculan label di , yaitu, . $v$ $\lambda(v)$ $\Sigma$ $A \subseteq V$ $\Sigma$ $A$ $\min_{a \in \Sigma} |\{v \in A \mid \lambda(v) = a\}|$ Apakah ada analogi teorema Dilworth dalam konteks ini? Dengan kata lain, jika saya berasumsi bahwa DAG tidak memiliki barang antik ukuran berlabel , apa yang dapat saya asumsikan tentang strukturnya? Bisakah saya menguraikannya dengan cara khusus? Saya sudah bingung dengan kasus , tetapi juga tertarik dengan kasus set label hingga umum. $k \in \mathbb{N}$ $\Sigma = \{a, b\}$

Untuk memvisualisasikan ini untuk , mengatakan bahwa tidak memiliki barang antik berukuran label berarti tidak ada barang antik yang mengandung setidaknya simpul yang berlabel dan simpul yang berlabel ; mungkin ada antikristus besar yang sewenang-wenang tetapi mereka harus mengandung hanya elemen atau hanya elemen, hingga paling banyak pengecualian . Tampaknya pelarangan antichains besar harus menegakkan bahwa DAG pada dasarnya "alternatif" antara bagian-bagian dari lebar besar untuk $\Sigma = \{a, b\}$ $G$ $k$ $k$ $a$ $k$ $b$ $a$ $b$ $k-1$ $a$ simpul -labeled, dan lebar besar untuk -labeled simpul, tapi saya belum bisa untuk meresmikan intuisi ini. (Tentu saja, karakterisasi struktural yang cocok harus berbicara tentang label simpul selain bentuk DAG, karena sudah untuk dan pada kondisi ini dipenuhi oleh DAGs sepenuhnya sewenang-wenang setiap kali semua simpul membawa label yang sama.) $b$ $k \geq 1$ $\{a, b\}$

— a3nm
sumber

@ Saeed, Tidak, ini tidak berhasil. Kebingungan Anda berasal dari kenyataan bahwa jika sebuah huruf tidak muncul di antik, ukurannya yang berlabel adalah

. Ambil contoh, grafik bipartit lengkap G = (A, B, E), setiap sisi berorientasi dari A ke B. Label setiap simpul A dengan

dan setiap simpul B dengan

. Kemudian masing-masing antichain memiliki paling banyak satu warna di dalamnya dan dengan demikian berlabel ukuran

, tetapi Anda tidak dapat menutupinya dengan

rantai terpisah. Sama dengan DAG yang Anda label dengan

saja.

0

$0$

a

$a$

b

$b$

0

$0$

m (k - 1)

$m(k-1)$

a

$a$

— Serigala

@ holf, benar, saya pikir kita menghitung label di mana mereka muncul di antik, saya tidak melihat min melewati semua elemen sigma. Saya pikir ini definisi yang agak aneh.

— Saeed

@ Saeed: Intinya adalah untuk melarang barang antik dengan berbagai macam simbol. Intuisi untuk hal ini adalah bahwa kami sedang mempelajari kompleksitas masalah pada DAG, yang menjadi sepele ketika Anda memiliki banyak barang antik (cukup banyak kemunculan simbol-simbol yang tak tertandingi). Untuk menunjukkan keterlacakan keseluruhan, kami hanya perlu menangani kasus DAGs di mana pola ini tidak terjadi, jadi kami ingin mengetahui bagaimana DAGs tersebut dapat diuraikan untuk merancang algoritma yang dapat ditelusuri untuk mereka. (Dalam kasus tanpa label, misalnya, dekomposisi rantai mengarah ke algoritma yang dinamis.)

— a3nm

$\{a, b\}$ $G$ $a$ $b$ $a$ $b$ $G$ $L_1, \ldots, L_n$

- $L_i$ $x, y \in L_i$ $x \leq z \leq y$ $z \in L_i$
- $i < j$ $x \in L_i$ $y \in L_j$ $y \leq x$
$A$ $G$ $i$ $A$ $L_i$ $|A \setminus L_i|$
- $L_i$ $a$ $b$
- $L_i$ $b$ $a$

Selanjutnya, partisi seperti itu dapat dihitung dalam PTIME.

Saya telah memposting bukti kami saat ini secara online . Ini sangat kasar dan pada dasarnya tidak mengoreksi karena kami tidak menggunakan hasilnya untuk saat ini, tetapi saya masih berpikir itu lebih rapi untuk menambahkan jawaban untuk pertanyaan CStheory ini dengan kemajuan kami saat ini. Jangan ragu untuk menghubungi saya jika Anda tertarik dengan hasilnya tetapi tidak bisa memahami buktinya.

— a3nm
sumber