Parametriisasi ganda yang tidak standar dari masalah grafik

8

Salah satu hasil mendasar dalam kompleksitas parameter dari masalah grafik adalah bahwa COVER VERTEX di-parameterisasi oleh ukuran solusi adalah fixed-parameter-trable (FPT). Di sisi lain, ketika diparameterisasi oleh "parameter ganda" , itu menjadi setara dengan SET INDEPENDEN diparameterisasi oleh ukuran solusi (karena setiap penutup simpul adalah pelengkap set independen), dan karenanya W [1] -hard. $k$ $|V(G)|-k$

Meskipun ini tampak kurang alami, saya tertarik pada kompleksitas parameter VERTEX COVER untuk parameter . Ini adalah parameter yang lebih besar dari . Apakah VERTEX COVER FPT untuk parameter ini? $|E(G)|-k$ $|V(G)|-k$

Catatan: Saya juga tertarik pada parameterisasi serupa untuk masalah grafik lainnya (mis. SET DOMINASI). Satu-satunya tempat di mana saya telah melihat kedua jenis parameter ganda yang dipelajari adalah untuk masalah hypergraph TEST COVER dalam makalah 2012 " Studi Parameterisasi dari Masalah Cover Test " oleh Crowston, Gutin, Jones, Saurabh dan Yeo. (juga di arXiv )

Sunting (04/12/2016): Parameterisasi ini juga dipelajari untuk masalah hypergraph lainnya HITTING SET dalam 2011 paper Kernels untuk parameterisasi di bawah-batas dari hitting set dan diarahkan untuk mengatur masalah himpunan oleh Gutin, Mones dan Yeo ( arXiv tautan ).

reference-request graph-algorithms fixed-parameter-tractable

— Florent Foucaud
sumber

5

Biarkan dan . Parameter ganda selalu paling tidak sebesar yang pada gilirannya setidaknya sebesar ukuran set tepi umpan balik, seperangkat tepi yang penghapusannya membuat asiklik. $n:=|V(G)|$ $m:= |E(G)|$ $m-k$ $m-n$ $G$

Ukuran set tepi umpan balik terkecil, sebut saja nomor tepi umpan balik , juga setidaknya sama besar dengan nomor simpul umpan balik dan treewidth grafik. Ini secara langsung menyiratkan bahwa Penutup Vertex adalah traktat dengan parameter tetap untuk . Selain itu, ia memiliki kernel polinomial karena Vertex Cover parameterisasi oleh umpan balik nomor vertex memiliki satu (ini ditunjukkan oleh Jansen dan Bodlaender di Vertex Cover Kernelization Revisited - Batas Atas dan Bawah untuk Parameter yang Diperbaiki. Teori Komputasi. Sistem 53 (2): 263-299 (2013), http://dx.doi.org/10.1007/s00224-012-9393-4 ). $\phi$ $m-k$

Kernel linear langsung sederhana untuk Vertex Cover yang diparameterisasi dengan nomor edge umpan balik harus dapat diperoleh sebagai berikut: Hapus semua simpul derajat-0, tambahkan tetangga simpul derajat-1 apa pun ke penutup simpul, dan kurangi jalur simpul derajat-2 yang mengandung setidaknya 2 simpul (mengurangi batas pada sesuai). Setelah penerapan yang lengkap dari aturan reduksi ini, pada grafik yang dihasilkan . Ini secara langsung menyiratkan kernel untuk parameter yang lebih besar . $\phi$ $k$ $n=O(\phi)$ $m-k$

Untuk menjawab pertanyaan Anda untuk referensi: Saya akan mencari nomor edge umpan balik yang lebih kecil dari parameter ganda , telah dipertimbangkan dalam literatur, dan sering memberikan hasil traktabilitas parameter tetap juga untuk Dominating Set (karena parameternya cukup besar). Berikut adalah tiga contoh lebih lanjut: $m-k$

Johannes Uhlmann, Mathias Weller: Planarisasi Dua-Lapisan diparameterisasi oleh set edge umpan balik. Teor Komputasi. Sci. 494: 99-111 (2013), http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2013.01.029

André Nichterlein, Rolf Niedermeier, Johannes Uhlmann, Mathias Weller: Pada kasus yang dapat ditelusuri, Pemilihan Target Set. Jejaring Sosial Analis. Penambangan 3 (2): 233-256 (2013), http://dx.doi.org/10.1007/s13278-012-0067-7

Sepp Hartung, Christian Komusiewicz, André Nichterlein: Algoritma Parameter dan Eksperimen Komputasi untuk Menemukan 2-Klub. J. Grafik Algoritma Appl. 19 (1): 155-190 (2015), http://dx.doi.org/10.7155/jgaa.00352

— C Komus
sumber

Jika ada, maka "Hapus semua derajat-0 simpul" berkurang n tanpa mengubah m, jadi tambah mn. Dengan demikian, ukuran grafik yang dihasilkan menjadi linier dalam parameter grafik yang dihasilkan tidak berarti ukuran grafik yang dihasilkan memiliki ikatan dalam hal parameter grafik input .

Ya, terima kasih telah menunjukkan ini. Saya mengubah bagian ini menjadi kernelisasi untuk nomor edge umpan balik yang lebih kecil.

— C Komus

2

Pertanyaan tambahan: 2 makalah yang saya tunjuk adalah untuk masalah hypergraph, tetapi ada

tidak perlu lebih besar dari

karena ada lebih sedikit hyperedges daripada simpul. Apakah ada trik generik yang berfungsi di sana?

m - k

$m-k$

n - k

$n-k$

— Florent Foucaud

9

$2k+1$ $G'$ $|E(G')|\le |E(G)|-2k$ $G'$ $|E(G')|$ $|E(G)|-k$ $G$

$2k+1$ $2k+1$ $2k$

— Michael Lampis
sumber

Terima kasih, rapi! Jika Anda tahu referensi tempat parameter tersebut dipelajari (untuk masalah grafik lainnya), beri tahu saya.

— Florent Foucaud