Apa oracle kompleksitas minimum yang memisahkan PSPACE dari hierarki polinomial?


17

Latar Belakang

Hal ini diketahui bahwa ada sebuah ramalan A seperti itu, PSPACEAPHA .

Bahkan diketahui bahwa pemisahan relatif terhadap oracle acak. Secara informal, seseorang mungkin menafsirkan ini berarti bahwa ada banyak nubuat yang PSPACE dan PH terpisah.

Pertanyaan

Bagaimana rumit adalah firman ini yang memisahkan PSPACE dari PH . Secara khusus, apakah ada oracle ADTIME(22n) sedemikian rupa sehingga PSPACEAPHA ?

Apakah kita memiliki oracle A sehingga PSPACEAPHA dan A memiliki kompleksitas yang diketahui batas atas?

Catatan: keberadaan oracle semacam itu mungkin memiliki konsekuensi dalam teori kompleksitas struktural. Lihat pembaruan berikut di bawah ini untuk perincian lebih lanjut.

Perbarui dengan detail tentang teknik batas bawah

Klaim: Jika PSPACE=PH , maka untuk semua nubuat AP/poly , PSPACEA=PHA .

Bukti Sketch: Misalkan PSPACE=PH .

Biarkan oracle AP/poly diberikan. Kita dapat membangun waktu polinomial Σ2 mesin Turing oracle M yang untuk panjang tertentu n , menebak rangkaian ukuran p(n) menggunakan kuantifikasi eksistensial dan memverifikasi bahwa rangkaian memutuskan A dengan membandingkan evaluasi rangkaian dan hasil kueri untuk setiap panjang n string menggunakan kuantifikasi universal.

Selanjutnya, pertimbangkan masalah keputusan yang saya sebut sebagai sirkuit Boolean terukur (QBC) di mana Anda diberi sirkuit boolean terukur dan ingin tahu apakah itu valid (mirip dengan QBF). Masalah ini selesai PSPACE karena QBF selesai PSPACE.

Dengan asumsi, berikut bahwa QBC . Katakanlah Q B C Σ k untuk beberapa k cukup besar. Misalkan N menunjukkan waktu polinomial Σ k Mesin Turing yang memecahkan QBC.PHQBCΣkkNΣk

Kita bisa berbaur perhitungan dan N (mirip dengan apa yang dilakukan dalam bukti teorema Karp-Lipton) untuk mendapatkan waktu polinomial Σ k mesin oracle Turing yang memecahkan Q B C A .MNΣkQBCA

Secara informal, mesin baru ini mengambil input QBC oracle (yaitu QBC dengan gerbang oracle). Kemudian, ia menghitung sirkuit yang menghitung pada input dengan panjang n (secara bersamaan melepaskan dua bilangan pertama). Berikutnya, menggantikan gerbang oracle di QBC oracle dengan sirkuit untuk A . Akhirnya, ia mulai menerapkan sisa algoritma waktu polinomial Σ k untuk menyelesaikan Q B C pada contoh yang dimodifikasi ini.AnAΣkQBC

Sekarang, kita dapat menunjukkan batas bawah bersyarat.

Konsekuensi: Jika ada oracle sedemikian rupa sehingga P S P A C E AP H A , maka N E X P P / p o l y .ANEXPPSPACEAPHANEXPP/poly

Bukti Sketch: Misalkan terdapat sehingga P S P A C E AP H A . Jika N E X P P / p o l y , maka kita akan mendapat kontradiksi.ANEXPPSPACEAPHANEXPP/poly

Secara khusus, jika , maka dengan klaim atas kita memiliki P S P A C E P H . Namun, diketahui bahwa N E X P P / p o l y menyiratkan bahwa P S P A C E = P H .NEXPP/polyPSPACEPHNEXPP/polyPSPACE=PH

(lihat di sini untuk beberapa detail tentang hasil yang diketahui untuk P / poli)


3
Mungkin perlu disebutkan bahwa itu diduga bahwa PSPACE PH. yaitu oracle sepele akan dilakukan, tetapi kita tidak bisa membuktikannya.
Thomas mendukung Monica

1
Bagaimana, tepatnya , Anda mendefinisikan PSPACE yang din Relativized? Lebih dari satu kemungkinan muncul dalam literatur. Secara khusus, apakah permintaan oracle diasumsikan terikat secara polinomi?
Emil Jeřábek mendukung Monica

1
Apakah Anda memasukkan "Konstruksi formula Q," formula boolean monoton besar yang menentukan semua 2 qbfs dari rumus asli, dalam PH? Lihat Pengantar QSpace, 2002 Satisfiability Conference, lokakarya internasional tentang QBFS, untuk lebih lanjut tentang formula Q.
daniel pehoushek

1
Saya percaya saya bisa menunjukkan, sebagai batas bawah, yang seperti berada di SEH akan "memiliki konsekuensi dalam teori kompleksitas struktural." Haruskah saya memposting itu segera (yang mungkin berarti besok atau mungkin berarti dalam 30 menit), atau meninggalkan ini tidak dijawab lebih lama sehingga Anda lebih mungkin mendapatkan jawaban dengan kelas yang cukup? A

1
Mengingat bahwa nubuat acak memiliki kompleksitas Kolmogorov yang tinggi, saya berharap setiap batas atas yang dapat dikomputasi pada nubuat tersebut memiliki konsekuensi penting. Batas atas yang kuat seperti tunggal-eksponensial harus memiliki konsekuensi yang kuat. (Tentu saja, argumen ini murni heuristik dan saya saat ini tidak tahu bagaimana membuatnya menjadi keras.)
András Salamon

Jawaban:


9

Saya percaya jika Anda menelusuri argumen yang diberikan, misalnya, dalam Bagian 4.1 dari survei Ker-I Ko , Anda mendapatkan batas atas . Bahkan, kita dapat mengganti n 2 di sini dengan fungsi apa pun n f ( n ) di mana f (DTIME(22O(n2))n2nf(n) sebagai n . Ini tidak cukup apa yang diminta, tetapi sudah dekat.f(n)n

Secara khusus, menggunakan terjemahan antara pemisahan oracle dan sirkuit batas bawah, dan mengikuti notasi Ko, kami memiliki yang berikut:

  • Kami akan mendiagonalisasi string panjang mana p n ( x ) = x n + n adalah " polinomial ke- n (dalam beberapa enumerasi algoritma poli-waktu) dan m ( n ) akan ditentukan di bawah ini.t(n)=pn(m(n))pn(x)=xn+nnm(n)

  • Menerjemahkan ke batas bawah sirkuit, ini berarti kami sedang mempertimbangkan sirkuit dengan kedalaman terbatas pada input.2t(n)

  • Persyaratan (lihat hlm. 15 dari Ko) yang kita butuhkan untuk memenuhi 1m(n)untuk semuan. Berikutdadalah kedalaman sirkuit kita ingin diagonalize terhadap, atau ekuivalen tingkatΣ p d dariPHkita ingin diagonalize melawan. Untuk diagonalize terhadap semuaPH, silahkandmenjadi fungsi darin1102m/(d1)>dpn(m(n))ndΣdpPHPHdn yang ; kita dapat memilih a dω(1)dyang tumbuh secara sewenang-wenang perlahan-lahan, meskipun (mungkin tunduk pada beberapa asumsi komputabilitas pada , tetapi itu seharusnya tidak menjadi hambatan). Jika kita membuat dugaan bahwa d ( n ) adalah konstan (walaupun tidak, tetapi akan tumbuh secara lambat), maka kita melihat bahwa m ( n ) sekitar 2 n harus bekerja.d(n)d(n)m(n)2n

  • Ini berarti bahwa , jadi kami mencari batas bawah terhadap rangkaian dengan 2 2 n 2 input.t(n)2n222n2

  • Trevisan dan Xue (CCC '13) menunjukkan bahwa seseorang dapat menemukan tugas di mana rangkaian batas-terikat yang diberikan pada input tidak menghitung PARITY dengan seed panjang p o l y l o g ( N ) .Npolylog(N)

  • Bagi kami , jadi p o l y l o g ( N ) = 2 O ( n 2 ) . Kita dapat dengan kasar memaksakan benih seperti itu dalam 2 2 O ( n 2 ) waktu dan menggunakan yang pertama yang berfungsi.N=22n2polylog(N)=2O(n2)22O(n2)

Untuk mengganti dengan n f ( n ) , biarkan saja p n ( x ) = x f ( nn2nf(n)sebagai gantinya.pn(x)=xf(n)+f(n)

Menariknya, jika saya mengerti dengan benar, saya percaya ini menyiratkan bahwa jika seseorang dapat meningkatkan Trevisan-Xue ...

  • ... untuk algoritma pseudodeterministic / Bellagio (lihat komentar Andrew Morgan di bawah), orang akan mendapatkan bahwa ; atauBPEXPP/poly

  • ... untuk algoritma non-deterministik yang menduga bit tapi kemudian berlari di p o l y ( N ) waktu, dan sehingga pada setiap jalur menerimanya membuat output yang sama ( lih N P S V ), itu akan menyiratkan N E X PP / p o l y ; ataupolylog(N)poly(N)NPSVNEXPP/poly

  • ... ke algoritma deterministik, orang akan mendapatkan .EXPP/poly

Di satu sisi, ini menunjukkan mengapa derandomisasi lemma pengalihan lebih lanjut harus sulit - argumen yang saya tidak yakin dikenal sebelumnya! Di sisi lain, ini menurut saya hal yang menarik tentang kekerasan versus keacakan (atau apakah ini benar-benar hal baru, ramalan versus keacakan?).


3
Salah satu tantangan yang dipoles di sini adalah bahwa oracle yang dibangun harus merupakan oracle tunggal yang tetap, sehingga memutuskannya ada di BPEXP atau apa pun. Jika Anda hanya memilih benih acak dari generator yang bagus, maka, saat Anda mendapatkan beberapa oracle yang berfungsi, Anda tidak perlu mendapatkan prosedur keputusan untuk oracle itu, karena seed yang berbeda memberikan (secara umum) oracle yang berbeda. Anda harus melakukan sesuatu yang lebih, seperti menemukan benih kanonik, agar konstruksi benar-benar "konstruktif".
Andrew Morgan

3
Meskipun argumennya tidak memberikan BPEXP, dapatkah Anda menurunkan kompleksitas hingga tingkat EXPH yang terbatas?
Emil Jeřábek mendukung Monica

2
@ EmilJeřábek: Tanpa memeriksa rincian, saya pikir harus bekerja. Tebak sebuah benih menggunakan , verifikasi itu berfungsi menggunakan , dan kemudian verifikasi bahwa itu adalah seed paling sedikit secara leksikografis menggunakan ¬ = ¬ , untuk total . Σ3EXP¬=¬
Joshua Grochow

2
MAEXP

2
@ JoshuaGrochow Ya, posting asli Anda sepertinya baik-baik saja. Saya keberatan dengan balasan Anda untuk Emil yang membuat hipotesis oracle dapat dibuat dalam EXPH, di mana waktu tayang adalah tunggal-eksponensial. Dalam retrospeksi saya seharusnya lebih jelas tentang itu.
Andrew Morgan
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.