Automata mengenali

Biarkan menjadi alfabet terbatas. Sebuah kode lebih adalah himpunan bagian dari sehingga setiap kata dalam dapat direpresentasikan unik sebagai gabungan dari kata-kata dalam . Kode adalah terbatas jika terbatas. Apa yang diketahui tentang (minimal) automata yang mengenali untuk kode hingga ? Apakah ada karakterisasi automata tersebut (dalam hal struktur otomat, tanpa mengetahui )? Apakah mungkin, dengan otomat seperti itu, ekstrak kode $\Sigma$ $X$ $\Sigma$ $\Sigma^*$ $X^*$ $X$ $X$ $|X|$ $X^*$ $X$ $X$ $X$ dalam waktu polinomial?

Saya juga tertarik pada pertanyaan-pertanyaan ini ketika kita menghilangkan fakta bahwa adalah kode, yaitu, menganggap hanya bahwa adalah serangkaian kata yang terbatas. $X$ $X$

automata-theory

— Andrew Ryzhikov
sumber

Apa yang ingin Anda ketahui tentang automata tersebut? Tampaknya mudah untuk membangun DFA untuk

yang ukurannya dapat dengan mudah ditandai (pada dasarnya jumlah awalan unik string di

, dan dengan demikian paling banyak jumlah panjang kata dalam

; khususnya, ini ukuran polinomial). Dengan DFA yang demikian, tampaknya juga mudah untuk mengekstrak codeword dalam

dengan menghitung semua siklus dari mulai node kembali ke dirinya sendiri. Apa pertanyaan khusus Anda? Pemikiran apa yang sudah Anda lakukan? Lihat bagian "Pertanyaan harus didasarkan pada ..." dari pusat bantuan kami .

X^{*}

$X^*$

X

$X$

X

$X$

X

$X$

— DW

@ WD, jelas, tidak semua automata memiliki properti ini. Jadi saya bertanya apakah ada karakterisasi (semoga, polinom) dari automata tersebut. Juga, saya tidak melihat cara mengekstrak

dengan menghitung semua siklus dari keadaan awal ke dirinya sendiri. Bahkan, mungkin ada jumlah siklus yang tak terbatas, karena kita tidak dapat membatasi hanya untuk siklus tanpa persimpangan diri. Bisakah Anda lebih spesifik?

X

$X$

— Andrew Ryzhikov

Jika saya mengerti dengan benar, Anda bertanya tentang automata minimal. Saya pikir semua DFA minimal akan menjadi isomorfik dengan yang saya jelaskan. Jika Anda bertanya tentang semua automata, tidak harus minimal, saya sarankan Anda mengedit pertanyaan untuk menjelaskan. Saya tidak mengerti mengapa Anda tidak dapat membatasi hanya untuk siklus tanpa persimpangan diri; properti awalan bebas berarti aman untuk melakukannya, dan jika

terbatas, hanya akan ada banyak siklus semacam itu. Saya menyarankan agar Anda memikirkan masalah untuk sementara waktu, kemudian mengedit pertanyaan untuk membagikan semua hasil yang sejauh ini telah Anda temukan.

X

$X$

— DW

Bukankah pertanyaan ini sama dengan versi pertama cstheory.stackexchange.com/questions/4284/… , di mana

dan

dapat berbeda, kecuali bahwa Anda juga menanyakan waktu tayang?

K

$K$

K^{'}

$K'$

— domotorp

@domotorp Anda benar, memeriksa apakah serangkaian kata adalah kode dapat dilakukan dalam waktu polinomial, dan itu adalah fakta yang cukup terkenal (lihat mis. www-igm.univ-mlv.fr/ ~berstel/LivreCodes/ Codes.html , ayat 0.4). Yang saya inginkan adalah, hanya memiliki otomat minimal yang mengenali sesuatu, periksa apakah ini adalah bintang kode.

— Andrew Ryzhikov

Karena pertanyaan ini tidak mendapat jawaban untuk waktu yang lama, izinkan saya menawarkan sebagian jawaban untuk bagian pertama dari pertanyaan:

Apa yang diketahui tentang (minimal) automata yang mengenali untuk kode hingga ? $X^∗$ $X$

$X$ $X^*$ $\mathcal{A} = (Q, A, E, I, F)$ $Q = \{1, 1\} \cup \{ (u, v) \in A^+ \times A^+ \mid uv \in X \}$ $I = F = \{(1,1)\}$

\begin{aligned} (u, a v) & \overset{a}{⟶} (u a, v) such that u a v \in X, (u, v) \neq (1, 1) \\ (u, a) & \overset{a}{⟶} (1, 1) such that u a \in X, u \neq 1 \\ (1, 1) & \overset{a}{⟶} (a, v) such that a v \in X, v \neq 1 \\ (1, 1) & \overset{a}{⟶} (1, 1) such that a \in X} \end{aligned}

$\begin{align*} (u, av) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (ua, v) \text{ such that } uav \in X,\ (u, v) \neq (1,1) \\ (u, a) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (1, 1) \text{ such that } ua \in X,\ u \neq 1 \\ (1, 1) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace(a, v) \text{ such that } av \in X,\ v \neq 1\\ (1, 1) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (1, 1) \text{ such that } a \in X \bigr\} \end{align*}$

X^{*}

$X^*$

A = {a, b}

$A= \{a, b\}$

X = {a, b a, a a b, a b a}

$X = \{a, ba, aab, aba\}$

X^{*}

$X^*$

$\qquad\qquad\qquad$

$p$ $q$ $w$ $p$ $q$ $w$

$X$ $X^*$

$X$ $A^+$ $A^*$

$R$ $e \in R$ $eRe = \{e\}$ $\pi:R \to S$ $e$ $S$ $\pi^{-1}(e)$

$T$ $X^+$ $X^+$ $T$ $L^+$ $\pi$ $T$ $S$ $X^+$

$\pi:T \to S$

$\mathcal{J}$

Referensi

[ 1 ] J. Berstel, D. Perrin, C. Reutenauer, Kode dan Automata . Ensiklopedia Matematika dan Penerapannya, 129. Cambridge University Press, Cambridge, 2010. xiv + 619 hlm. ISBN: 978-0-521-88831-8

— J.-E. Pin
sumber