Keanggotaan monoid transisi untuk DFA

Mengingat lengkap DFA , kita dapat mendefinisikan kumpulan fungsi f suatu untuk setiap satu ∈ Γ dan dengan f a : Q → Q , f a ( q ) = δ ( q , a ) . Kita dapat menggeneralisasikan gagasan ini ke kata w = a 1 , ⋯ , a m dan f $A=(Q, \Gamma, \delta, F)$$f_a$$a\in \Gamma$$f_a:Q\rightarrow Q$$f_a(q)=\delta(q, a)$$w=a_1, \cdots, a_m$ mana ∘ menunjukkan komposisi fungsi. Selanjutnya kita nyatakan G = { f w | w ∈ gamma * } dan G adalah monoid.$f_w=f_{a_1}\circ \cdots \circ f_{a_m}$$\circ$$G=\{f_w\mid w\in \Gamma^*\}$$G$

[ biasanya disebut transisi monoid dalam buku teks standar, tetapi di sini saya mereproduksi definisi untuk kejelasan.]$G$

Pertanyaannya adalah, diberikan fungsi , dapatkah kita memutuskan f ∈ G (idealnya dalam waktu polinomial), dan jika ini masalahnya (yaitu, ada w sedemikian sehingga f = f w ), apakah w adalah hanya panjang secara polin, atau dapat secara eksponensial panjang? $f:Q\rightarrow Q$$f\in G$$w$$f=f_w$$w$

[Kurasa memang kata seperti itu bisa panjang secara eksponensial, tapi aku mencari contoh sederhana.]

Decidability

$f:Q \to Q$$g \to h$$a \in \Gamma$$h = f_a \circ g$$g$$G$$g$$f_\epsilon$$Q$meskipun begitu.

Panjang kata

$p_1,\dots,p_k$$k$$(i,x)$$i \in \{1,\dots,k\}$$x_i \in \{0,1,\dots,p_i-1\}$$\Gamma=\{0\}$$\delta((i,x),0 = (i,x+1 \bmod p_i)$$f_0 :Q \to Q$

$$f_0(i,x) = (i,x+1 \bmod p_i).$$

$g:Q \to Q$

$$g(i,x) = (i,x-1 \bmod p_i).$$

$g = f_{0^n}$$n=p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k -1$$0^n$$|Q|= p_1 + \dots + p_k$$n$$Q$

$g$$G$