Game 2P1R mana yang Berpotensi Tajam?

Gim dua babak proverver (2P1R) adalah alat yang penting untuk kekerasan perkiraan. Secara khusus, pengulangan paralel game dua putaran satu-prover memberikan cara untuk meningkatkan ukuran celah dalam versi keputusan dari masalah perkiraan. Lihat ceramah survei Ran Raz di CCC 2010 untuk ikhtisar subjek.

Pengulangan paralel dari sebuah game memiliki properti yang menakjubkan bahwa sementara verifier acak beroperasi secara independen, kedua pemain dapat memainkan game dengan cara yang tidak independen untuk mencapai kesuksesan yang lebih baik daripada memainkan setiap game secara independen. Jumlah keberhasilan dibatasi oleh teorema pengulangan Raz yang paralel:

Teorema : Terdapat konstanta universal sehingga untuk setiap game 2P1R dengan nilai dan ukuran jawaban , nilai game pengulangan paralel paling banyak .G 1 - ϵ s G n ( 1 $c$$G$$1-\epsilon$$s$$G^n$$(1-\epsilon^c)^{\Omega(n/s)}$

Berikut ini garis besar pekerjaan mengidentifikasi konstanta ini :$c$

• Kertas asli Raz membuktikan .$c \leq 32$
• Holenstein memperbaiki ini menjadi .$c \leq 3$
• Rao menunjukkan bahwa sudah cukup (dan ketergantungan pada dihapus) untuk kasus khusus dari game proyeksi.$c' \leq 2$$s$
• Raz memberikan strategi untuk game siklus aneh yang menunjukkan hasil Rao tajam untuk game proyeksi.

Dengan tubuh kerja ini, kita tahu . Dua pertanyaan saya adalah sebagai berikut:$2 \leq c\leq 3$

Pertanyaan 1: Apakah para ahli di bidang ini memiliki konsensus untuk nilai tepat ?$c$

Jika dianggap , apakah ada game tertentu yang tidak projektif, tetapi juga secara khusus melanggar sifat tambahan dari game proyeksi yang diperlukan bukti Rao.$c > 2$

Pertanyaan 2: Jika , game mana yang melanggar strategi Rao dan berpotensi menjadi contoh yang tajam?$c > 2$

Dari bacaan saya sendiri, tampaknya properti paling penting dari game proyeksi yang digunakan Rao adalah bahwa strategi yang baik untuk pengulangan paralel tidak akan menggunakan banyak jawaban yang mungkin untuk pertanyaan tertentu. Ini entah bagaimana terkait dengan lokalitas game proyeksi.

Saya cenderung percaya bahwa c = 3 adalah jawaban yang tepat untuk kasus umum, dan harus memungkinkan untuk memberikan contoh. Saya harus berpikir lebih banyak tentang itu untuk mengetahui dengan pasti. Ini pertanyaan yang bagus, dan saya tidak tahu pekerjaan yang ada tentang itu.

Penelitian baru-baru ini berfokus pada jenis gim yang memiliki (kemungkinan terbaik) c = 1, sebagian besar karena kemungkinan aplikasi untuk penguatan gim-gim unik.

• Barak dkk menggeneralisasi sampel tandingan Raz untuk semua game unik dengan celah SDP.
• Raz dan Rosen menunjukkan bahwa untuk memperluas game proyeksi c = 1. Ada juga hasil sebelumnya oleh sekelompok penulis tersebut untuk game gratis.

Agar semuanya berjalan lancar, saya memiliki permainan potensial dan ingin mendapat umpan balik.

Biarkan bilangan bulat dan m bilangan bulat setidaknya 3 k + 1 dengan . The siklus daya permainan adalah permainan 2P1R mana provers berusaha untuk meyakinkan verifier bahwa grafik adalah yg berhasil. Di sini, adalah grafik dengan simpul yang diberikan oleh bilangan bulat modulo dengan tepi jika mod- jarak paling . Jika ada -warna dari , itu harus diberikan dengan memilih pemesanan$k \geq 2$$m$$3k+1$C k m k + 1 C k m m m k k + 1 C k m { 1 , ... , k } { 0 , ... , m - 1 } k + 1 { 0 , ... , m - 1 } m k + $m \not\equiv 0 {\pmod {k+1}}$$C_{m}^k$$k+1$$C_m^k$$m$$m$$k$$k+1$$C_m^{k}$$\{1,\dots,k\}$ dan mewarnai angka dalam urutan ini, karena setiap rangkaian integer berurutan dalam membentuk klik. Karena bukan kelipatan , akan ada beberapa titik di mana pewarnaan ini gagal.$\{0,\dots,m-1\}$$k+1$$\{0,\dots,m-1\}$$m$$k+1$

Verifier meminta titik tunggal dari kedua pemain, untuk memverifikasi bahwa warnanya cocok, atau meminta keunggulan untuk memverifikasi bahwa warnanya berbeda.

Saya percaya ini adalah contoh yang bagus karena dua alasan:

1. Itu cukup mirip dengan permainan siklus aneh bahwa strategi dapat dibangun mirip dengan batas bawah Raz. Bagian penting dari strategi ini adalah memilih secara acak pewarnaan di seluruh pengulangan menggunakan keacakan bersama.

2. Dengan mengacak permutasi yang digunakan dalam pewarnaan yang dihasilkan secara acak, jumlah jawaban yang diberikan pada setiap simpul mencakup seluruh jawaban yang ditetapkan secara seragam, menyerang strategi Rao.

Apakah game ini sudah dianggap / diselesaikan?