Mendistribusikan relasi biner ke dalam nampan sehingga setiap elemen berada dalam sejumlah kecil nampan

Kami diberi pasangan benda (katakanlah, angka). Setiap objek paling banyak muncul dalam pasangan . Tujuan kami adalah untuk mendistribusikan pasangan ke tempat sampah berukuran sama, sehingga setiap objek terjadi dalam sesedikit mungkin tempat sampah yang berbeda. $q$

Lebih tepatnya, kami tertarik pada fungsi dengan properti yang untuk setiap hubungan biner dengan pasangan dengan maksimal pasangan per objek, ada distribusi pasangan ke bin, sehingga setiap bin menerima pasangan ( harus membagi ), dan tidak ada objek yang terjadi di lebih dari nampan. $f$ $m$ $q$ $p$ $m/p$ $p$ $m$ $f(m,q,p)$

Pertanyaan ini muncul dalam penelitian kami pada evaluasi permintaan paralel. Orang akan berharap bahwa besar dibandingkan dengan . Ukuran "benar" dari kurang jelas. Ukuran yang menarik untuk bisa berupa, misalnya, . Fungsi yang tidak bergantung pada , tetapi hanya bekerja untuk rentang tertentu juga akan berguna (tetapi tidak ). $m$ $p$ $q$ $q$ $\sqrt{\frac{m}{p}}$ $q$ $q$ $q=O(1)$

Sebenarnya, kita mengejar batas bentuk , dengan sebesar mungkin ... $p^{1-\epsilon}$ $\epsilon>0$

combinatorics

— Thomas S
sumber

Dalam terminologi grafik: diberi bilangan bulat dan grafik dengan tepi , dengan setiap simpul paling banyak memiliki , temukan subgraf mana , sedemikian sehingga , dan adalah partisi menjadi bagian masing-masing ukuran , dan setiap simpul terjadi di paling banyak dari grafik . Tujuan Anda adalah meminimalkan . Apa batas atas terbaik

p

$p$

G = (V, E)

$G=(V,E)$

m

$m$

q

$q$

p

$p$

G_{1}, G_{2}, \dots, G_{p}

$G_1, G_2, \ldots, G_p$

G_{i} = (V_{i}, E_{i})

$G_i=(V_i, E_i)$

V = ⋃_{i} V_{i}

$V=\bigcup_i V_i$

{E_{i}}_{i}

$\{E_i\}_i$

E

$E$

p

$p$

m / p

$m/p$

v \in V

$v\in V$

k

$k$

(max_{v} | {i : v \in V_{i}} | \leq k)

$(\max_v |\{i : v\in V_i\}| \le k)$

k

$k$

k

$k$ Anda dapat menunjukkan diberikan , , dan ?

m

$m$

p

$p$

q

$q$

— Neal Young

Betul. Dalam hal grafik. Jawaban pertanyaannya adalah: . Memang, seperti yang ditulis di atas, kami tertarik pada batas-batas bentuk dan tidak memiliki batasan seperti itu untuk .

p

$p$

p^{1 - ϵ}

$p^{1-\epsilon}$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

— Thomas S

Kasus khusus untuk memulai: Biarkan menjadi bilangan bulat ganjil. Bisakah satu partisi tepi dari grafik lengkap menjadi himpunan bagian ukuran sedemikian rupa sehingga, untuk setiap simpul, jumlah himpunan bagian yang mengandung tepi-tepi kejadian pada simpul itu adalah , untuk beberapa ? Saya yakin ya untuk setiap --- ambil masing-masing himpunan bagian verteks acak ukuran masing-masing . Kemudian dengan probabilitas tinggi, setiap simpul berada di sekitar dari subset simpul, dan setiap pasangan berada di sekitar

n \geq 1

$n \ge 1$

(\binom{n}{2})

$n\choose 2$

K_{n}

$K_n$

n

$n$

(n - 1) / 2

$(n-1)/2$

O (n^{1 - ϵ})

$O(n^{1-\epsilon})$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

ϵ < 1 / 2

$\epsilon<1/2$

n

$n$

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$

(i, j)

$(i,j)$

n^{1 - 2 ϵ}

$n^{1-2\epsilon}$ dari himpunan bagian. Sekarang tetapkan pasangan untuk himpunan bagian ...

— Neal Young

Dalam kasus ini, node dapat didistribusikan terlebih dahulu ke dalam set ukuran (pikirkan interval). Kemudian setiap bin mendapatkan produk dari dua set tersebut (saya mempertimbangkan grafik terarah lengkap, yang lebih mudah untuk menyatakan dan asimtotik tidak jauh berbeda). Karenanya, setiap titik muncul dalam nampan, yaitu, dalam kasus ini.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

I \times J

$I\times J$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

ϵ = \frac{1}{2}

$\epsilon=\frac{1}{2}$

— Thomas S

Untuk grafik bintang ( insiden edge ke satu vertex ), vertex harus ada di masing-masing subgraf, jadi untuk kasus itu, ikatan yang kurang dari tidak dimungkinkan. Saya kira itu sebabnya Anda membatasi derajat maks ? Mungkin Anda bisa mengatakan sesuatu yang lebih pasti tentang hal itu, karena itu tampaknya menjadi asumsi penting. Sementara itu, saya meninggalkan pengamatan (bukan jawaban, tetapi terlalu besar untuk cocok sebagai komentar!) Sebagai jawaban di bawah ini.

n - 1

$n-1$

r

$r$

r

$r$

p

$p$

p

$p$

q

$q$

— Neal Young

Ini bukan jawaban. Hal ini hanya pengamatan agak sepele yang WLOG Anda dapat bersantai persyaratan yang ada persis tepi subset persis ukuran yang sama, dan bukan hanya mencari sejumlah himpunan bagian tepi ukuran . Mungkin ini membantu memikirkan masalahnya. $p$ $\{E_i\}_i$ $O(\textsf{the desired size})$

Perbaiki grafik dan bilangan bulat . Mari $G=(V,E)$ $p\ge 1$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

Kata pengantar singkat. Misalkan ada subgraf sedemikian rupa sehingga partisi menjadi (berapa pun) bagian ukuran . Biarkan menjadi jumlah maksimum bagian yang ada di simpul mana pun. $\{G'_j=(V'_j,E'_j)\}_j$ $\{E'_j\}_j$ $E$ $O(s)$

M = max_{v \in V} | {j : v \in V_{j}^{'}} |

$M = \max_{v\in V} |\{j : v\in V'_j\}|$

Lalu ada subgraf sedemikian rupa sehingga mempartisi menjadi persis bagian masing-masing ukuran paling banyak , dan $p$ $\{G_i=(V_i,E_i)\}_i$ $\{E_i\}_i$ $E$ $p$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

max_{v \in V} | {i : v \in V_{i}} | = O (M) .

$\max_{v\in V} |\{i : v\in V_i\}| = O(M).$

Bukti. Dimulai dengan urutan , ganti setiap bagian dalam urutan dengan urutan urutan tepi yang terkandung di bagian itu. Biarkan menjadi urutan yang dihasilkan (permutasi sedemikian rupa sehingga setiap bagian adalah beberapa "interval" dari tepi dalam urutannya). Sekarang partisi urutan ini ke subsequences berdekatan sehingga masing-masing kecuali yang terakhir memiliki ukuran , dan membiarkan mengandung tepi di th subsequence berdekatan. (Begitu $E'_1, E'_2, \ldots, E'_{p'}$ $E'_j$ $e_1, e_2, \ldots, e_m$ $E$ $E'_j$ $\{e_a, e_{a+1}, \ldots, e_b\}$ $p$ $s$ $E_i$ $i$ $E_i = \{e_{i\,s+1}, e_{i\,s+1}, \ldots, e_{(i+1)s}\}$ untuk .) $i<p$

Dengan asumsi setiap bagian memiliki ukuran , dan dengan merancang setiap bagian kecuali bagian terakhir memiliki ukuran , jadi (karena cara didefinisikan) tepi di setiap bagian yang diberikan dibagi menjadi bagian di . Ini, dan asumsi bahwa setiap titik terjadi di paling banyak bagian dalam , menyiratkan bahwa setiap titik muncul paling banyak di dari bagian di . QED $E'_j$ $O(s)$ $E_j$ $E_p$ $s$ $\{E_i\}_i$ $E'_j$ $O(1)$ $\{E_i\}_i$ $M$ $\{E'_j\}_j$ $O(M)$ $\{E_i\}_i$

— Neal Young
sumber