varian dari Critical SAT

Bahasa Critical SAT didefinisikan sebagai himpunan rumus boolean sedemikian rupa sehingga tetapi menghapus klausa apa pun dari membuatnya memuaskan. Diketahui bahwa SAT kritis adalah lengkap. Saya bertanya-tanya tentang varian berikut: diberi rumus , apakah ini kasus bahwa ada di dan bahwa ada beberapa klausa sehingga (alih-alih untuk semua klausa, ada klausa) . Apakah varian lengkap? $CNF$ $f$ $f \in UNSAT$ $f$ $DP$ $CNF$ $f$ $f$ $UNSAT$ $c$ $f \setminus c \in SAT$ $DP$

cc.complexity-theory complexity-classes boolean-functions

— John
sumber

Jelas bahwa bahasa Anda dalam DP. Untuk menunjukkan bahwa ini adalah DP-hard, kami akan memberikan pengurangan dari SAT-UNSAT ke bahasa Anda, yang dapat kami sebut CRIT-UNSAT. Mengingat sepasang CNFs , biarkan menjadi variabel segar, dan biarkan Di sini $(f,g)$ $x,y$

h = (f \lor \neg x) \land (g \lor x) \land (g \lor y) \land \neg x \land (x \lor \neg y) .

$h = (f \lor \lnot x) \land (g \lor x) \land (g \lor y) \land \lnot x \land (x \lor \lnot y).$

berarti menambahkan

ke semua klausa

f \lor \neg x

$f \lor \lnot x$

\neg x

$\lnot x$

f

$f$

Misalkan pertama bahwa adalah memuaskan dan tidak memuaskan. Karena tidak memuaskan, tidak memuaskan. Karena adalah satisfiable, adalah satisfiable. Jadi ada di CRIT-SAT. $f$ $g$ $g$ $h$ $f$ $h \setminus \lnot x$ $h$

Sebaliknya, anggaplah ada di CRIT-SAT. Karena tidak memuaskan, tidak memuaskan. Untuk beberapa klausa , memuaskan. Jika maka jelas masih kurang memuaskan. Demikian pula, jika maka masih tidak memuaskan, karena . Jika atau $h$ $h$ $g$ $c$ $h \setminus c$ $c \in f \lor \lnot x$ $h \setminus c$ $c \in g \lor x$ $h \setminus c$ $g \lor y$ $c \in g \lor y$ maka masih tidak memuaskan, karena . Jadi , yang berarti bahwa memuaskan, yaitu, memuaskan. $c = x \lor \lnot y$ $h \setminus c$ $g \lor x$ $c = \lnot x$ $h|_{x=1}$ $f$

— Yuval Filmus
sumber

Untuk menghindari duplikasi, tidak bisakah Anda membuat instance kedua dari

pada variabel baru?

g

$g$

— Joshua Grochow

Analisis kasus apa?

— Radu GRIGore

@ RaduGRIGore Kita dapat mencoba

misalnya. Jika

adalah turunan dari SAT-UNSAT maka

tidak memuaskan, dan menjadi memuaskan jika kita menghapus

. Di arah lain, jika

tidak memuaskan maka

h = (f \lor \neg x) \land (g \lor x) \land (g \lor y) \land \neg x \land (x \lor \neg y)

$h = (f \lor \lnot x) \land (g \lor x) \land (g \lor y) \land \lnot x \land (x \lor \lnot y)$

(f, g)

$(f,g)$

h

$h$

\neg x

$\lnot x$

h

$h$

g

$g$ tidak memuaskan. Kita harus memeriksa bahwa sekarang ada cara untuk "menipu" - untuk membuatnya satisfiable dengan menghapus

, misalnya. Memang, ini tidak akan membantu. Tapi kami harus memeriksa satu kasing lagi.

x \lor \neg y

$x \lor \lnot y$

— Yuval Filmus

Saya pikir apa yang dikatakan Yosua adalah

, di mana

terlihat seperti

tetapi dengan variabel prima.

h = (f \lor \neg x) \land (g \lor x) \land (g^{'} \lor x) \land \neg x

$h=(f\lor \lnot x)\land(g \lor x)\land(g'\lor x)\land\lnot x$

g^{'}

$g'$

g

$g$

— Radu GRIGore

@ RaduGRIGore Benar, itu akan menjadi bukti yang lebih sederhana.

— Yuval Filmus