Saya tidak dapat menemukan referensi, jadi saya hanya akan membuat sketsa buktinya di sini.
Dalil. Biarkan menjadi variabel acak nyata. Biarkan menjadi konstanta. Misalkan, untuk semua dan semua dalam dukungan , kita punyaa 1 , ⋯ , a n , b 1 , ⋯ , b n i ∈ { 1 , ⋯ , n } ( x 1 , ⋯ , x i - 1 ) ( X 1 , ⋯ , X i -X1,⋯,Xna1,⋯,an,b1,⋯,bni∈{1,⋯,n}(x1,⋯,xi−1)(X1,⋯,Xi−1)
- E[Xi|X1=x1,⋯,Xi−1=xi−1]≤0 dan
- P[Xi∈[ai,bi]]=1 .
Kemudian, untuk semua ,P [ n ∑ i = 1 X i ≥ t ] ≤ exp ( - 2 t 2t≥0
P[∑i=1nXi≥t]≤exp(−2t2∑ni=1(bi−ai)2).
Bukti. Tentukan . Kami mengklaim bahwa Untuk semua dan , kita memiliki
Dengan asumsi, dan untuk semua dalam dukungan∀ i ∈ { 1 , ⋯ , n } ∀ λ ≥ 0 E [ e λ Y i ]Yi=∑ij=1XjiλE[eλYi]=E[eλYi-1⋅eλXi]=E[eλYi-1⋅E[
∀i∈{1,⋯,n} ∀λ≥0 E[eλYi]≤e18λ2∑ij=1(bj−aj)2.(*)
iλE[eλYi]=E[eλYi−1⋅eλXi]=E[eλYi−1⋅E[eλXi∣∣Yi−1]].
μ(yi−1):=E[Xi|Yi−1=yi−1]≤0P[Xi∈[ai,bi]]=1yi−1Yi−1. (Perhatikan bahwa .) Dengan demikian, oleh
lemma Hoeffding , untuk semua mendukung dan semua . Karena , kami memiliki, untuk semua ,
Sekarang induksi menghasilkan klaim (*) di atas.
Yi−1=X1+⋯+Xi−1E[eλXi∣∣Yi−1=yi−1]≤eλμ(yi−1)+18λ2(bi−ai)2
yi−1Yi−1λ∈Rμ(yi−1)≤0λ≥0E[eλYi]≤E[eλYi−1⋅e0+18λ2(bi−ai)2].
Sekarang kami menerapkan ketidaksetaraan Markov pada dan menggunakan klaim kami (*). Untuk semua ,
Akhirnya, atur untuk meminimalkan ekspresi tangan kanan dan mendapatkan hasilnya. eλYnt,λ>0
P[∑i=1nXi≥t]=P[Yn≥t]=P[eλYn≥eλt]≤E[eλYn]eλt≤e18λ2∑ni=1(bi−ai)2eλt.
λ=4t∑ni=1(bi−ai)2■
Seperti yang saya sebutkan dalam komentar saya, perbedaan utama antara ini dan pernyataan "biasa" tentang ketimpangan Azuma membutuhkan , daripada . Yang pertama memungkinkan lebih banyak fleksibilitas dan ini menyimpan faktor 2 dalam beberapa kasus.Xi∈[ai,bi]Xi∈[−a,a]
Perhatikan bahwa variabel acak dalam buktinya adalah supermartingale. Anda dapat memperoleh versi ketimpangan Azuma yang biasa dengan mengambil Martingale , pengaturan dan (di mana ), dan kemudian menerapkan hasil di atas.Y 1 , ⋯ , Y n X i = Y i - Y i - 1 [ a i , b i ] = [ - c i , c i ] P [ | Y i - Y i - 1 | ≤ c i ] = 1YiY1,⋯,YnXi=Yi−Yi−1[ai,bi]=[−ci,ci]P[|Yi−Yi−1|≤ci]=1