Apakah isomorfisme kelompok abel di ?

Sebuah berjalan algoritma waktu untuk isomorfisma grup abelian mudah untuk melihat. Kemudian mengerjakan masalah ini pada tahun 2003, Vikas meningkatkan hasil dari waktu berjalan ke . Pada tahun 2007, Kavitha menunjukkan bahwa isomorfisma kelompok abelian dapat dilakukan dalam waktu linier yaitu waktu .$O(n^2)$O ( n log n $O(n^2)$$O(n \log n)$$O(n)$

Saya tahu bahwa isomorfisma kelompok abelian ketika kelompok diberikan oleh representasi tabel ada di . Apakah ada makalah penelitian atau artikel yang menunjukkan bahwa itu ada di ? Saya mencoba google tetapi hanya mendapatkan hasilnya di . A C 0 T C $\mathsf{TC^0}$$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{TC^0}$

Pertanyaan: Apakah abelian group isomorphism (kelompok yang diberikan dalam representasi tabel) dalam$\mathsf{AC^0}$

Bertentangan dengan apa yang dinyatakan dalam pertanyaan, isomorfisme kelompok abelian tidak diketahui berada di . Tidak perlu dikatakan, ini juga berarti tidak diketahui berada di . A C $\mathrm{TC^0}$$\mathrm{AC^0}$

Apa yang diketahui adalah pengamatan berikut dari [1]. Biarkan menunjukkan masalah berikut: diberi tabel perkalian grup abelian , elemen , dan di unary, tentukan apakah . Teorema struktur untuk grup abelian terbatas dengan mudah menyiratkan bahwa jika adalah dua kelompok ukuran , maka ( A , ⋅ ) a , b ∈ A m b = a m A , B $\mathrm{pow}$$(A,{\cdot})$$a,b\in A$$m$$b=a^m$$A,B$$n$

Karena kita dapat menghitung set ukuran polinomial dalam , kita memperoleh$\mathrm{TC^0}$

Proposisi 1: Abelian group isomorphism dapat dihitung dalam .$\mathrm{TC^0(pow)}$

Sekarang, jelas dapat dihitung dalam L, dan seperti yang ditunjukkan pada [2], juga di kelas FOLL. Jadi,$\mathrm{pow}$

Konsekuensi 2: Isomorfisme kelompok Abel dapat dihitung dalam dan di .$\mathrm{L}$$\mathrm{TC^0(FOLL)}$

Tidak diketahui apakah dapat dihitung dalam .$\mathrm{pow}$$\mathrm{TC^0}$

Tampaknya Corollary 2 adalah hasil yang paling dikenal ketika datang ke kelas sirkuit "polinomial-size" yang biasa. Namun, saya mengamati bahwa masalahnya ada di versi quasipolynomial dari :$\mathrm{AC^0}$

Proposisi 3: Isomorfisma kelompok Abelian dapat dihitung dengan urutan yang seragam dari sirkuit Boolean dengan kedalaman konstan ukuran-kuasipolinomial; lebih khusus, ini ada di .$\Sigma_2\text-\mathrm{TIME}\bigl((\log n)^2\bigr)$

(Ini diterjemahkan ke dalam keluarga seragam dari kedalaman-3 sirkuit ukuran , di mana disjunctions bawah memiliki fan-in hanya ; ini sering disebut "kedalaman ".) O ( ( log n ) 2 ) 2 $2^{O((\log n)^2)}$$O\bigl((\log n)^2\bigr)$$2\frac12$

Proposisi 3 sekali lagi merupakan konsekuensi dari teorema struktur untuk grup abelian terbatas: setiap grup tersebut dapat ditulis sebagai jumlah langsung dari subkelompok siklik , sehingga grup dan adalah isomorfik jika mereka dapat ditulis sebagai jumlah langsung subkelompok siklik dengan pesanan yang cocok: yaitu, jika , maka iffA B | A | = | B | = n A ≃ $O(\log n)$$A$$B$$|A|=|B|=n$$A\simeq B$

terdapat

• urutan dari integerk ≤ log $\{m_i:i<k\}$$k\le\log n$$m_i\le n$

• urutan dan$\{a_i:i<k\}\subseteq A$$\{b_i:i<k\}\subseteq B$

seperti yang

• $\prod_{i<k}m_i=n$

• $a_i^{m_i}=1$ dan untuk setiap$b_i^{m_i}=1$$i<k$

• untuk semua urutan dari bilangan bulat , tidak semuanya nol:$\{r_i:i<k\}$$0\le r_i<m_i$

  $\prod_{i<k}a_i^{r_i}\ne1$ dan$\prod_{i<k}b_i^{r_i}\ne 1$

Dua bilangan utama disorot. Untuk melihat bahwa batas yang disebutkan tidak terlampaui, kita perlu menunjukkan bahwa identitas dapat diperiksa di . Ini dapat dilakukan dengan menebak secara berturut-turut dan memverifikasi nilai dari produk parsial untuk ; selain itu, untuk setiap , kami juga menebak dan memverifikasi hasil sebagian dari perhitungan dengan kuadrat berulang. Secara total, ini membuat menebak, masing-masing mengambil$\prod_{i<k}a_i^{r_i}=1$$\mathrm{NTIME}\bigl((\log n)^2\bigr)$$\prod_{i<l}a_i^{r_i}$$l=0,\dots,k$$i$$O(\log r_i)$$a_i^{r_i}$O ( log n $O\left(\sum_i\log r_i\right)\subseteq O\left(\sum_i\log m_i\right)\subseteq O(\log n)$$O(\log n)$ waktu untuk memverifikasi.

Ada cara lain untuk membuktikan Proposisi 3: yaitu, perhatikan bahwa dalam , kita hanya perlu mempertimbangkan yang merupakan kekuatan utama: . Dalam hal itu, dua set pelanggaran yang perlu kita hitung juga memiliki ukuran yang merupakan kekuatan ; khususnya, jika mereka tidak sama, mereka berbeda dengan faktor setidaknya . Dengan demikian, cukup untuk menghitung ukuran dua set kira-kira . Ini dapat dilakukan dalam quasipolynomial menggunakan lemma coding Sipser. Dan seperti yang telah saya tunjukkan, dapat dihitung dalam quasipolynomial dengan kuadrat berulang.M m = p e p p A C 0 p o w A C $(*)$$m$$m=p^e$$p$$p$$\mathrm{AC^0}$$\mathrm{pow}$$\mathrm{AC^0}$

Salah satu konsekuensi dari Proposisi 3 adalah bahwa jika masalah isomorfisma abelian ternyata tidak ada dalam , ini mungkin agak sulit untuk dibuktikan: khususnya, seseorang tidak dapat hanya mengurangi PARITY atau MAJORITY ke masalah, karena ini membutuhkan sirkuit dengan kedalaman terbatas ukuran-eksponensial , bukan quasipolynomial. Sekalipun kita berusaha mengurangi PARITY pada bit-bit ke masalah, tidak ada banyak ruang untuk parameter: secara khusus, PARITY dari super-polylogarithmically banyak bit tidak dapat dihitung oleh sirkuit-konstanta kedalaman-ukuran quasipolynomial, dan PARITY of Secara polilogaritma banyak bit sudah dapat dihitung dalam dengan membagi dan menaklukkan. m ≪ n A C $\mathrm{AC^0}$$m\ll n$$\mathrm{AC^0}$

Referensi:

[1] Arkadev Chattopadhyay, Jacobo Torán, Fabian Wagner: Grafik isomorfisma bukan -dapat diturunkan ke grup isomorfisma$\mathrm{AC^0}$ , Transaksi ACM tentang Teori Komputasi 5 (2013), no. 4, artikel no. 13, doi: 10.1145 / 2540088 .

[2] David Mix Barrington, Peter Kadau, Klaus-Jörn Lange, Pierre McKenzie: Tentang kerumitan beberapa masalah pada input kelompok sebagai tabel perkalian , Jurnal Ilmu Komputer dan Sistem 63 (2001), no. 2, hlm. 186–200, doi: 10.1006 / jcss.2001.1764 .