W [1] - masalah sulit dengan algoritma aproksimasi waktu FPT

Saya mencari masalah yang sulit diselesaikan dalam waktu FPT tetapi memiliki algoritma perkiraan. Artinya, masalah itu adalah:

R1. W [1] -hard.

R2. Akui algoritma perkiraan (lebih disukai konstan) dalam waktu FPT.

Masalah yang saya kenal adalah menghitung jumlah jalur sederhana panjang dalam grafik. Ia dikenal sebagai #W [1] -hard , tetapi mengakui -proximation dalam waktu FPT (untuk konstanta ).$k$$(1+\epsilon)$$\epsilon$

Yang juga menarik adalah masalah yang memenuhi R1 dan R2, dan juga:

R3. Ada sehingga masalahnya tidak diperkirakan dalam waktu FPT (kecuali W [1] = FPT).$\epsilon>0$ $(1+\epsilon)$

Apa masalah lain yang memuaskan R1 dan R2, dan mungkin R3?

Dalam masalah Transversal Odd Cycle yang Diarahkan , inputnya adalah grafik dan tugasnya adalah menemukan set simpul terkecil sehingga tidak memiliki (diarahkan) siklus dengan panjang ganjil. Dalam versi parameter kami juga diberi integer dan ditanya apakah solusi ukuran paling banyak ada .$G$$S$$G-S$$k$$k$

Dalam tulisan ini kami membuktikan bahwa (R1) masalahnya adalah W -hard, (R2) bahwa ia mengakui algoritma pendekatan faktor 2 dalam waktu 2 k O ( 1 ) n O ( 1 ) , dan itu (R3 ') mengasumsikan hipotesis agak lebih kuat dari F P T ≠ W [ 1 ] bahwa ada ϵ > 0 sehingga masalah tidak mengakui algoritma perkiraan ( 1 + ϵ ) dalam waktu f ( k $[1]$$2^{k^{O(1)}}n^{O(1)}$$FPT \neq W[1]$$\epsilon > 0$$(1+\epsilon)$ .$f(k)n^{O(1)}$

Dalam [1], penulis membuktikan bahwa MaxSAT parametrized oleh clique-width (resp. Neighbour diversity) dari grafik insiden formula CNF memiliki FPT-AS (Skema Aproksimasi Pendekatan Skema Parameter Tetap) tetapi diketahui bahwa MaxSAT parametrized oleh clique-width (resp. diversity tetangga) adalah W [1] -hard.

Teorema sebagian besar bergantung pada hasil [2] yang secara kasar mengatakan bahwa grafik lebar klik terikat tanpa klik besar juga telah terikat treewidth. Dengan demikian mereka dengan cerdas memotong formula sehingga mereka tidak memiliki klik besar dalam grafik kejadian dan menyelesaikan rumus yang dikurangi dalam waktu FPT menggunakan algoritma terkenal untuk MaxSAT pada treewidth terikat. Saya kira pendekatan ini dapat bekerja dalam masalah lain juga.

[1] Holger Dell, Jung Eun Kim, Michael Lampis, Valia Mitsou, Tobias Mömke: Kompleksitas dan Perkiraan Parameter-MAX-CSP. IPEC 2015

[2] Gurski, F., & Wanke, E. (2000, Juni). Lebar pohon-lebar-klik grafik tanpa K n, n . Dalam International Workshop on Graph-Theoretic Concepts in Computer Science (hal. 196-205). Springer, Berlin, Heidelberg.

Dalam Defective Coloring kita diberi grafik dan bilangan bulat Δ ∗ dan diminta untuk mempartisi simpul G ke dalam jumlah minimum yang mungkin dari kelas warna sehingga setiap kelas menginduksi grafik derajat maksimum paling banyak Δ ∗ . (Jika Δ ∗ = 0 masalah ini hanya Mewarnai ).$G$$\Delta^*$$G$$\Delta^*$$\Delta^*=0$

Dalam [1] kami menunjukkan hal berikut mengenai masalah ini yang diparameterisasi oleh treewidth : (R1) masalahnya adalah W [1] -hard; (R2) jumlah warna minimum dapat diperkirakan 2 dalam waktu FPT; (R3) tidak ada -approximation di FPT waktu, di bawah asumsi standar.$(3/2-\epsilon)$

[1] Rémy Belmonte, Michael Lampis, dan Valia Mitsou: Pewarnaan Parameter (Perkiraan) Cacat. STACS '18.

Masalah k-cut adalah untuk menghapus jumlah minimum tepi untuk membuat setidaknya komponen k. W [1] sulit ketika diparameterisasi oleh k tetapi menerima 2-aproksimasi untuk k.

(Pertanyaan ini ditanyakan dua tahun lalu, tetapi saya akan mengirim jawaban untuk orang lain yang mungkin melihat pertanyaan ini.)

Dalam masalah kapasitansi $k$ median, kita diberikan satu set $F$ fasilitas, masing-masing fasilitas $f$ dengan kapasitas $u_f \in \mathbb{Z}_{\geq0}$ , satu set $C$ klien, metrik $d$ atas $F\cup C$ dan batas atas $k$ pada nomor fasilitas yang bisa kita buka. Solusi untuk masalah ini adalah seperangkat $S \subseteq F$ paling banyak $k$ fasilitas terbuka dan penugasan koneksi $\phi:C\rightarrow S$ klien untuk membuka fasilitas sehingga$|\phi^{-1}(f)| \leq u_{f}$ untuk setiap fasilitas$f \in S$ . Kami ingin menemukan solusi yang meminimalkan biaya koneksi$\sum_{c\in C} d(c,\phi(C))$ . Masalahnya adalah$W[2]$ -hard ketika diparameterisasi oleh$k$ . Dalam tulisanini, penulis menunjukkan bahwa ada algoritma pendekatan faktor konstan FPT-waktu untuk masalah. (dalam hal ini, Anda dapat memeriksa GAP-ETH untuk beberapa hasil negatif. Lihathttps://arxiv.org/pdf/1708.04218.pdf )