Representasi rangkaian singkat dari grafik

Kompleksitas kelas PPAD (misalnya, menghitung berbagai kesetimbangan Nash) dapat didefinisikan sebagai sekumpulan masalah pencarian total yang dapat direduksi menjadi polytime menjadi END OF THE LINE :

END OF THE LINE : Sirkuit yang diberikan S dan P dengan n bit input dan n bit output sedemikian sehingga P (0 ⁿ ) = 0 ⁿ ! = S (0 ⁿ ) , cari input x dalam {0,1} ⁿ sedemikian rupa sehingga P (S (x)) ! = X atau S (P (x)) ! = X ! = 0 ⁿ .

Sirkuit atau algoritma seperti S dan P secara implisit mendefinisikan grafik besar secara eksponensial yang hanya terungkap berdasarkan permintaan-oleh-permintaan (untuk menjaga masalah di PSPACE !), Misalnya kertas Papadimitrou .

Namun, saya tidak mengerti bagaimana seseorang akan mendesain sebuah sirkuit yang memungkinkan grafik yang berubah-ubah (jika ada struktur sistematis pada grafik, tampaknya jauh lebih mudah untuk menemukan sirkuit). Sebagai contoh, bagaimana seseorang mendesain sirkuit berukuran polinomi yang merepresentasikan garis terarah secara eksponensial, dengan label semua-0 untuk simpul sumber dan label biner yang ditetapkan secara acak untuk semua simpul lainnya? Ini tampaknya tersirat dalam makalah terkait PPAD .

Yang paling dekat saya dari pencarian online adalah makalah Galperin / Widgerson , tetapi rangkaian yang dijelaskan di sana membutuhkan dua label titik dan mengembalikan jawaban Boolean untuk "Apakah simpul-simpul ini berdekatan?"

Jadi, bagaimana Anda mendesain rangkaian polinomially dari grafik berukuran eksponensial yang mengambil input n- bit dan mengeluarkan label n- bit dari pendahulunya atau penggantinya, masing-masing? Atau bahkan, apakah seseorang mengetahui sumber daya yang menjelaskan hal ini dengan baik?

Pertanyaan Anda tampaknya bertanya: bagaimana seseorang menggambarkan grafik arbitrer (atau bahkan grafik path arbitrer) sebagai rangkaian ukuran polinomial? Jawabannya adalah, Anda tidak. Jumlah grafik jalur yang berbeda dengan simpul 2 ⁿ adalah (2 ⁿ ) !, jauh lebih banyak daripada jumlah sirkuit yang berbeda dengan gerbang n ^c (eksponensial dalam n ^c log n). Jadi hampir semua grafik dengan banyak simpul ini tidak dapat diwakili oleh rangkaian ringkas.

Karena itu, seperti yang Anda tunjukkan, dalam beberapa hal hanya grafik yang memiliki tingkat struktur tinggi yang dapat direpresentasikan dengan cara ini. Itulah yang membuat kelas kompleksitas seperti PPAD menarik: terlepas dari struktur yang kita ketahui harus memiliki grafik input untuk masalah EOL, kita sepertinya tidak tahu bagaimana memanfaatkan struktur untuk menyelesaikan masalah secara efisien.

Jika saya salah memahami pertanyaan Anda dan Anda benar-benar bertanya: bagaimana cara membuat sirkuit yang bahkan memenuhi persyaratan input untuk EOL, bahkan untuk grafik yang sangat terstruktur: coba grafik jalur yang menghubungkan titik x (dianggap sebagai angka dalam biner) ke x-1 dan x +1, dengan ujungnya nol dan pada 2 ^ n-1. Atau jika Anda menginginkan sesuatu yang kurang sepele yang tampaknya lebih sulit untuk diselesaikan EOL untuk: biarkan E dan D menjadi fungsi enkripsi dan dekripsi untuk kunci tetap di kriptosistem favorit Anda, biarkan tetangga x dalam grafik menjadi E (x) dan D (x), dan biarkan ujung baris menjadi 0 dan D (0).

Karena sebagian besar grafik pada n simpul adalah Kolmogorov-acak, mereka tidak dapat dijelaskan oleh sirkuit (atau program lain) yang secara signifikan lebih kecil dari grafik itu sendiri. (Jika Anda tidak tahu apa artinya Kolmogorov-acak, Anda pada dasarnya dapat mengambil kesimpulan dari kalimat sebelumnya sebagai definisi. Kemudian mengandalkan fakta bahwa hampir semua string adalah Kolmogorov-acak.)

Meskipun saya tidak terlalu akrab dengan karya-karya yang Anda kutip, tebakan saya adalah bahwa mereka selalu berbicara tentang grafik yang dijelaskan oleh sirkuit. Dengan kata lain, dengan memfokuskan pada sirkuit, mereka pada dasarnya membatasi perhatian mereka pada kelas grafik yang memiliki sirkuit ringkas (yang ukurannya logaritmik dalam ukuran grafik).