Jumlah 4 siklus

Biarkan $C_4$ menjadi siklus dengan empat simpul. Untuk grafik sembarang $G$ dengan $n$ simpul dan tepi m, ucapkan $m>n\sqrt n$ , berapa banyak$C_4$yang ada? Apakah ada batas bawah untuk ini?

Ya, ini diketahui. Untuk $d = \Omega(n^{1/2})$ dengan konstan implisit cukup besar, setiap $n$ grafik -node dari rata-rata tingkat $d$ memiliki $\Omega(d^4)$ Total $C_4$ s. Ini paling baik karena disadari oleh grafik acak.

Referensi paling awal yang saya ketahui adalah "Grafik Supersaturated Cube dan Masalah Terkait" oleh Erdos dan Simonovits, di mana diklaim tanpa bukti. Ada banyak bukti di luar sana, di atas kepala saya lihat Lemma 3 di sini .