Apakah Perangkat Semua Kata Primitif adalah Bahasa Utama?

Kata disebut primitif , jika tidak ada kata dan sehingga . Himpunan Q dari semua kata primitif di atas alfabet \ Sigma adalah bahasa yang terkenal. WLOG kita dapat memilih \ Sigma = \ {a, b \} .$w$$v$$k > 1$$w = v^k$$Q$$\Sigma$$\Sigma = \{ a,b \}$

Bahasa $L$ adalah prima , jika untuk setiap bahasa $A$ dan $B$ dengan $L = A \cdot B$ kita memiliki $A = \{\epsilon\}$ atau $B = \{ \epsilon \}$ .

Apakah Q prime?

Dengan bantuan pemecah SAT, saya dapat menunjukkan bahwa kami memiliki $\{a,b\} \subseteq A$ atau $\{a,b\} \subseteq B$ seperti sebaliknya $\{ ababa, babab \} \subset Q$ tidak dapat difaktorkan menjadi $A$ dan $B$ , tetapi telah terjebak sejak saat itu.

Jawabannya iya. Misalkan kita memiliki faktorisasi $Q = A\cdot B$ .

Satu pengamatan mudah adalah bahwa $A$ dan $B$ harus disjoint (karena untuk $w\in A\cap B$ kita mendapatkan $w^2\in Q$ ). Secara khusus, hanya satu dari $A,B$ dapat mengandung $\epsilon$ . Kita dapat mengasumsikan wlog (sejak kasus lain benar-benar simetris) yang $\epsilon\in B$ . Kemudian sejak $a$ dan $b$ tidak dapat diperhitungkan dalam faktor-faktor non-kosong, kita harus memiliki $a,b\in A$ .

Selanjutnya kita dapatkan bahwa (dan, sepenuhnya analog, ) untuk semua dengan induksi pada :$a^mb^n\in A$$b^ma^n\in A$$m,n>0$$m$

Untuk , karena , kita harus memiliki dengan . Karena , harus untuk beberapa . Tetapi jika , maka karena kita mendapatkan , kontradiksi. Jadi , dan . $m=1$$ab^n\in Q$$ab^n = uv$$u\in A, v\in B$$u\neq\epsilon$$v$$b^k$$k\le n$$k>0$$b\in A$$b^{1+k}\in Q$$v=\epsilon$$ab^n\in A$

Untuk langkah induktif, karena kita memiliki dengan . Karena lagi , kita memiliki untuk beberapa , atau untuk beberapa . Tetapi dalam kasus sebelumnya, sudah dalam oleh hipotesis induksi, jadi , kontradiksi. Dalam kasus terakhir, kita harus memiliki (yaitu ) sejak dari kita mendapatkan . Jadi .$a^{m+1}b^n\in Q$$a^{m+1}b^n = uv$$u\in A, v\in B$$u\neq\epsilon$$v = a^kb^n$$0<k<m+1$$v=b^k$$k<n$$v$$A$$v^2\in Q$$k=0$$v=\epsilon$$b\in A$$b^{1+k}\in Q$$u=a^{m+1}b^n\in A$

Sekarang perhatikan kasus umum kata-kata primitif dengan bergantian antara dan , yaitu adalah , (untuk ), , atau (untuk ); kita dapat menunjukkan bahwa mereka semua dalam menggunakan induksi pada . Apa yang kami lakukan sejauh ini mencakup kasus dasar dan .$r$$a$$b$$w$$a^{m_1}b^{n_1}\ldots a^{m_s}b^{n_s}$$b^{m_1}a^{n_1}\ldots b^{m_s}a^{n_s}$$r=2s-1$$a^{m_1}b^{n_1}\ldots a^{m_{s+1}}$$b^{m_1}a^{n_1}\ldots b^{m_{s+1}}$$r=2s$$A$$r$$r=0$$r=1$

Untuk , kami menggunakan induksi lain pada , yang bekerja sangat mirip dengan yang untuk atas:$r>1$$m_1$$r=1$

Jika , maka dengan , dan karena , memiliki lebih sedikit dari pergantian. Jadi (atau akarnya dalam kasus itu sendiri tidak primitif) adalah dalam oleh hipotesis induksi pada untuk kontradiksi seperti di atas kecuali . Jadi .$m_1=1$$w=uv$$u\in A, v\in B$$u\neq\epsilon$$v$$r$$v$$v$$A$$r$$v=\epsilon$$w=u\in A$

Jika , dalam faktorisasi apa saja dengan , keduanya memiliki lebih sedikit alternatif (dan akarnya dalam kecuali oleh hipotesis induksi pada ), atau blok pertama yang lebih pendek (dan akarnya dalam A kecuali oleh hipotesis induksi pada ). Dalam kedua kasus kita mendapatkan bahwa kita harus memiliki , yaitu .$m_1>1$$w=uv$$u\neq\epsilon$$v$$A$$v=\epsilon$$r$$v=\epsilon$$m_1$$v=\epsilon$$w=u\in A$

Kasus agak lebih rumit. Hal-hal yang jelas untuk dicatat adalah bahwa dalam dekomposisi apa pun , dan harus merupakan himpunan bagian dari dengan . Juga, harus terkandung dalam .$Q' := Q\cup\{\epsilon\}$$Q = A\cdot B$$A$$B$$Q'$$A\cap B = \{\epsilon\}$$a,b$$A\cup B$

Dengan sedikit kerja ekstra, orang dapat menunjukkan bahwa dan harus berada di subset yang sama. Jika tidak, menganggap wlog bahwa dan . Mari kita katakan bahwa memiliki faktorisasi yang tepat jika dengan dan . Kami memiliki dua sub-sub (simetris) tergantung pada ke mana pergi (harus dalam atau karena tidak memiliki faktorisasi yang tepat).$a$$b$$a\in A$$b\in B$$w\in Q'$$w=uv$$u\in A\setminus\{\epsilon\}$$v\in B\setminus\{\epsilon\}$$ba$$A$$B$

• Jika , maka tidak memiliki faktorisasi yang tepat sejak . Sejak akan berarti , kita mendapatkan . Akibatnya, tidak dalam (yang akan menyiratkan ) atau dalam (yang akan menyiratkan ). Sekarang perhatikan kata . Ia tidak memiliki faktorisasi yang tepat karena dan a b a b , b a b a tidak primitif. Jika$ba\in A$$aba$$ba,a\notin B$$aba\in A$$abab\in A\cdot B$$aba\in B$$bab$$A$$bababa\in A\cdot B$$B$$abab\in A\cdot B$$babab$$bab\notin A\cup B$$abab,baba$$babab\in A$ , maka karena$aba\in B$ kita dapatkan$(ba)^4\in A\cdot B$ ; jika$babab\in B$ , maka sejak$a\in A$ kita mendapatkan$(ab)^3\in A\cdot B$ . Jadi tidak ada cara untuk memiliki$babab\in A\cdot B$, kontradiksi.
• Kasus $ba\in B$ benar-benar simetris. Singkatnya: $bab$ tidak memiliki faktorisasi yang tepat dan tidak bisa di $B$ , sehingga harus di $A$ ; Oleh karena itu $aba$ tidak bisa di $A$ atau $B$ ; Oleh karena itu $ababa$ tidak memiliki faktorisasi yang tepat, tetapi juga tidak bisa baik $A$ atau $B$ , kontradiksi.

Saat ini saya tidak yakin bagaimana untuk melanjutkan melampaui titik ini; akan menarik untuk melihat apakah argumen di atas dapat digeneralisasikan secara sistematis.