Masalah teknis dengan bukti teorema PCP

Saya membaca buktinya dari sini dan saya menemukan masalah teknis (yang sangat penting). Saya tahu ini agak spesifik dan konteksnya bermasalah, tetapi saya sendiri tidak bisa memahaminya.

Di halaman 51 dan 55, setelah menyajikan verifier "standar", mereka beralih untuk memodifikasi verifier untuk memeriksa pembagian tugas.

Dalam kasus pertama (p. 51) mereka memeriksa bahwa adalah -dekat dengan kode polinomial, dan kemudian mereka menggunakan Aljabarisasi (+ Zero-Testers) untuk membangun keluarga polinomial (dengan jumlah Periksa properti yang terkait dengan rumus input) yang masing-masing dapat dievaluasi pada titik yang diberikan 3 nilai dari masing-masing (codewords dari lemari kode polinomial ke ). $f_1,\dots,f_k$ $0.01$ $\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$ $f_1,\dots,f_k$

Dalam kasus kedua (hlm. 55) mereka memeriksa bahwa adalah -close menjadi linear, dan kemudian mereka mendefinisikan suatu fungsi menjadi jumlah khusus dari sedemikian rupa sehingga dapat dievaluasi pada titik yang diberikan nilai dari masing-masing (fungsi lemari fungsi untuk ). $f_1,\dots,f_k$ $0.01$ $f$ $\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$ $f$ $\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$ $f_1,\dots,f_k$

Kemudian dalam kedua kasus mereka melakukan tes (Sum-Check atau Tensor + Hadamard) pada nilai-nilai polinomial acak dalam keluarga / . $\widetilde{f}$

Masalah saya adalah bahwa prosedur untuk rekonstruksi nilai yang diperlukan dari setiap dapat memberikan nilai yang salah dengan beberapa probabilitas konstan yang tidak dapat diabaikan . Selain itu, probabilitas bahwa semua nilai direkonstruksi dengan benar sangat rendah, hanya untuk beberapa konstanta . Dan ini berlaku untuk kedua kasus. $\widetilde{f}_i$ $c^k$ $c$

Ini bisa buruk karena beberapa langkah dari pengukur memerlukan untuk mendapatkan nilai dari fungsi target / polinomial dari keluarga whp $f$

Jadi, kita perlu memperbesar probabilitas keberhasilan dengan berulang kali menggunakan "prosedur aljabar rekonstruksi" beberapa kali untuk setiap . $O(\log k)$ $\widetilde{f}_i$

Sekarang, ini berarti bahwa blow-up dalam kompleksitas kueri dari sub-rutin (relatif terhadap kompleksitas kueri dari verifier asli) sedikit lebih besar dari , yaitu (berbeda dengan "dijamin" - "diinginkan" meledak dalam pernyataan teorema). $k$ $O(k\log k)$ $O(k)$

Apakah ini masalah atau saya kehilangan sesuatu (yang mungkin saya)?

cc.complexity-theory pcp

— Don Fanucci
sumber

Maaf jika itu harus jelas, tetapi di mana pernyataan teorema meminta blowup ? Berdasarkan bacaan sepintas, tampaknya merupakan bilangan bulat tetap tetap (bukan?).

O (k)

$O(k)$

k

$k$

— Clement C.

@ClementC. Lihatlah definisi nomor 3,2 dan 3,3 dikombinasikan dengan komposisi rekursi lemma sesudahnya (dan yang paling penting buktinya). Perhatikan bahwa satu-satunya tempat di mana kemampuan verifier bentuk normal untuk memeriksa pembagian tugas digunakan adalah dalam bukti komposisi lemma (pada kenyataannya, di tempat lain itu merupakan "tanggung jawab besar" untuk dihadapi, ketika membangun verifier). Ada, dalam bukti, adalah tidak konstan sama sekali.

k

$k$

— Don Fanucci

Adil, ini digunakan untuk . Untuk penggunaan dalam membuktikan teorema PCP dalam Corollary 3.3 dan Theorem 3.5, , jadi (terlepas dari apakah extra memang ada di sini atau tidak) itu memang konstan.

p = Q (n)

$p=Q(n)$

Q (n) = 1

$Q(n)=1$

\log k

$\log k$

— Clement C.

@ClementC. Terima kasih, Anda benar bahwa ketika kami menggunakan komposisi, kami menggunakan konstanta .

p

$p$

— Don Fanucci

Kompleksitas kueri yang digunakan dalam makalah ini adalah dan . $O(1)$ $O(poly(logn))$

Untuk Lemma 3.1 ada catatan bahwa kompleksitas kueri yang digunakan adalah . $O(1)$

Jika pertanyaannya adalah bagaimana Lemma 3.1 menggeneralisasikan ke kompleksitas kueri yang tidak konstan, ini memang menghadirkan masalah di luar . $O(poly(f(n)))$

Masalah ini dihindari dengan membuat verifier yang mengurangi kompleksitas kueri ke (Lemma 4.4). $O(1)$

— Lem n
sumber