Hasil bootstrap yang benar-benar bootstrap

Ada jenis hasil dalam TCS yang biasanya disebut hasil bootstrap . Secara umum, itu dari bentuk

Jika proposisi berlaku, maka proposisi berlaku.$A$$A'$

di mana dan adalah proposisi yang terlihat serupa, dan tampaknya "lebih lemah" daripada , yang merupakan alasan kami memberi nama jenis hasil ini. Biarkan saya memberikan beberapa contoh nyata:$A$$A'$$A$$A'$

Dalil. [Chen dan Tell, STOC'19] Perbaiki masalah apa pun . Asumsikan bahwa untuk setiap terdapat banyak sekali d \ dalam \ mathbb {N} sedemikian rupa sehingga \ mathcal {TC} ^ 0 sirkuit kedalaman d membutuhkan lebih dari n ^ {1 + c ^ {- d}} kabel untuk menyelesaikan masalah \ Pi . Kemudian untuk setiap d_0, k \ dalam \ mathbb {N} , \ Pi tidak dapat diselesaikan dengan \ mathcal {TC} ^ 0 sirkuit dengan kedalaman d_0 dan n ^ k kabel, dan oleh karena itu \ mathcal {TC} ^ 0 \ subsetneq \ mathcal {NC} ^ 1 .$\Pi \in \{\mathsf{BFE,W_{S_5},W5STCONN}\}$$c>1$$d\in \mathbb{N}$$\mathcal{TC}^0$$d$$n^{1+c^{-d}}$$\Pi$$d_0,k \in \mathbb{N}$$\Pi$$\mathcal{TC}^0$$d_0$$n^k$$\mathcal{TC}^0 \subsetneq \mathcal{NC}^1$

Dalil. [Gupta et al., FOCS'13] Anggaplah bahwa komputasi permanen memerlukan kedalaman- $3$ rangkaian aritmatika dengan ukuran lebih dari $n^{\Omega(\sqrt{n})}$ , di atas bidang karakteristik $0$ . Kemudian menghitung permanen membutuhkan sirkuit aritmatika dengan ukuran superpolinomial, dan oleh karena itu dugaan Valiant berlaku.

Nah, contoh yang lebih terkenal tetapi tidak begitu tepat berasal dari kompleksitas yang halus:

Dalil. [Backurs dan Indyk, STOC'15] Jika kita dapat menghitung EDIT DISTANCE dalam waktu $O(n^{2-\epsilon})$ (pada model RAM), maka kita akan mendapatkan pemecah SAT lebih cepat daripada yang ada saat ini.

Memperbarui. (10 Juli 2019) Contoh jarak edit mungkin sedikit membingungkan. Lihat jawaban Ryan untuk contoh "standar".

Seperti yang mungkin Anda bayangkan, (setahu saya) semua hasil dari jenis ini dibuktikan dengan mengambil contrapositive (saya telah mengambil contrapositive pada jarak sunting). Jadi dalam beberapa hal ini semua adalah hasil algoritmik.

Biasanya ada dua cara untuk memahami hasil bootstrap. 1. Kita hanya perlu membuktikan dan kemudian menerapkan hasilnya, jika kita ingin membuktikan ; 2. Membuktikan mungkin sulit karena apriori yang kita anggap membuktikan sulit.$A$$A'$$A$$A'$

Masalahnya adalah, satu (atau lebih tepatnya, saya ) mungkin hampir tidak optimis dan mengambil pemahaman pertama, jika tidak ada penggunaan positif dari hasil bootstrap! Jadi pertanyaan saya adalah

Apakah kita tahu hasil bootstrap di mana terbukti?$A$

Hasil klasik yang dapat dibuktikan dengan bootstrap (dan berlaku untuk membuktikan batas bawah nyata) adalah bahwa dalam model komputasi mana pun kita memiliki untuk beberapa konstanta , kita sebenarnya memiliki , untuk setiap .$TIME(n) \neq TIME(n^c)$c > 1 T I M E ( n ) ≠ T I M E ( n 1 + ϵ ) ϵ > 0$c > 1$$TIME(n) \neq TIME(n^{1+\epsilon})$$\epsilon > 0$

Idenya adalah jika , kita dapat menerapkan argumen padding berulang kali untuk mendapatkan untuk setiap konstanta . Anda bahkan dapat menggunakan argumen semacam itu untuk sedikit meningkatkan teorema hierarki waktu dalam berbagai kasus.$TIME(n) = TIME(n^{1+\epsilon})$$TIME(n) = TIME(n^c)$$c$

Saya tidak yakin apakah ini diperhitungkan karena semuanya berasal dari kertas yang sama, tetapi dalam pass pertama Craig Gentry di enkripsi homomorfik sepenuhnya berdasarkan kisi-kisi yang ideal , ia pertama kali menunjukkan bahwa untuk membangun skema FHE, cukuplah untuk membangun "sedikit "skema enkripsi homomorfik dengan properti tertentu (sirkuit dekripsi lebih dangkal dari kedalaman yang dapat dienkripsi oleh sirkuit). Dia kemudian, dengan banyak pekerjaan, menunjukkan bagaimana membangun skema enkripsi yang agak homomorfik.

Bukti terbaru Huang tentang , Dugaan Sensitivitas, melibatkan pembuktian diketahui menyiratkannya. Lihat blog Aaronson:$A'$$A$

Dari karya perintis oleh Gotsman dan Linial pada tahun 1992, diketahui bahwa untuk membuktikan Dugaan Sensitivitas, cukuplah untuk membuktikan dugaan kombinatorial lebih sederhana berikut ini :$A$

Misalkan S adalah sembarang subset dari Boolean hypercube n-dimensional, , yang memiliki ukuran . Maka harus ada titik di S dengan setidaknya ~ nc tetangga di S.$\{0,1\}^n$$2^{n-1}+1$

Satu hal yang terlintas dalam pikiran, dalam teori pembelajaran komputasi, adalah meningkatkan . Pada dasarnya:

Dalam pengaturan PAC, jika Anda memiliki pelajar yang lemah untuk kelas (yaitu, sesuatu yang melakukan "hanya lebih baik" daripada menebak secara acak), maka Anda mendapatkan pelajar (kuat) untuk kelas .$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

Biasanya, ini memang digunakan dengan mendapatkan pelajar yang lemah.