Tentang dugaan sensitivitas?

Pembentukan baru-baru ini dari hubungan $bs(f)=O(s(f)^4)$ melewati Gotsman, Linial .

Bisakah pendekatan yang sama mencapai atau apakah ada batasan penting untuk pendekatan tersebut? $O(s(f)^2)$

cc.complexity-theory boolean-functions

— T ....
sumber

Ini dibahas dalam kata penutup makalah Hao Huang (di bawah peluru ketiga). Huang menulis: "Mungkin orang bisa menutup celah ini dengan langsung menerapkan metode spektral pada fungsi boolean alih-alih ke hypercubes."

— Gamow

Dari makalah: apa yang sebenarnya terbukti adalah, dalam Teorema 1.4,

\begin{matrix} (1) & \forall f : {0, 1}^{n} \to {0, 1}, s (f) \geq \sqrt{\deg f} \end{matrix}

$\forall f\colon\{0,1\}^n \to \{0,1\}, \qquad s(f) \geq \sqrt{\deg f} \tag{1}$ yang tidak dapat ditingkatkan (ketat untuk beberapa fungsi). Kemudian dikombinasikan dengan hasil Nisan dan Szegedy yang sebelumnya diketahui [1],

\begin{matrix} (2) & \forall f : {0, 1}^{n} \to {0, 1}, \deg f \geq \sqrt{\frac{1}{2} bs f} \end{matrix}

$\forall f\colon\{0,1\}^n \to \{0,1\}, \qquad \deg f \geq \sqrt{\frac{1}{2}\operatorname{bs} f} \tag{2}$ (perpisahan, kebetulan,Anda bertanya tentang beberapa tahun yang lalu). Darisurvei ini[2] (lihat Tabel 1), referensi [3], (2) tidak dapat ditingkatkan di luar mana. Jadi ini jalan menggunakan derajat sebagai proxytidak dapatmemberikan sensitivitas kuadrat batas atas pada sensitivitas blok.

bs f ≳ (\deg f)^{{catatan}_{3} 6}

$\operatorname{bs} f \gtrsim (\deg f)^{\log_3 6}$

\log_{3} 6 \approx 1.63

$\log_3 6 \approx 1.63$

Di sisi lain, ada kemungkinan bahwa menggunakan teknik yang sama (yaitu, nilai eigen interlacing dari matriks yang ditandatangani) tetapi pada objek yang berbeda (pertama dan terutama, tanpa menggunakan derajat sebagai proxy) dapat menyebabkan batas yang lebih tajam. Ini secara eksplisit dinyatakan sebagai pertanyaan terbuka di makalah Huang [4]:

Mungkin kita bisa menutup celah [kuadratik vs kuartik] ini dengan langsung menerapkan metode spektral ke fungsi boolean alih-alih ke hypercubes.

[1] Noam Nisan dan Mario Szegedy. Pada tingkat fungsi Boolean sebagai polinomial nyata . Komputasi. Kompleksitas, 4: 462–467, 1992. doi: 10.1007 / BF01263419

[2] Pooya Hatami, Raghav Kulkarni, dan Denis Pankratov, Variasi pada Dugaan Sensitivitas. Teori Survei Pascasarjana Komputasi, 2011. https://theoryofcomputing.org/articles/gs004/

[3] Noam Nisan dan Avi Wigderson. Kompleksitas peringkat vs komunikasi . Combinatorica, 15: 557-565, 1995. doi: 10.1007 / BF01192527

[4] Hao Huang. Subgraf diinduksi dari hiperkubis dan bukti dari Dugaan Sensitivitas. arXiv: 1907.00847, 2019. https://arxiv.org/abs/1907.00847

— Clement C.
sumber