Karena jawaban Steven Stadnicki tampaknya tidak diterima oleh penanya, saya pikir mungkin masih bermanfaat untuk memberikan pembaruan: Saya memiliki pengurangan dari 3SAT menjadi MULTI-GAME. Saya belum melihat jawaban Steven dengan hati-hati atau mengikuti tautan yang dia berikan, tetapi berdasarkan pengurangan berikut ini saya tidak akan terkejut jika MULTI-GAME benar-benar menyelesaikan PSPACE. Saya mungkin tidak repot-repot memperluas hasil ini di luar kekerasan NP.
Sebuah 3SAT contoh terdiri dari klausa C1,…,Cm , masing-masing klausa menjadi bentuk Ci=Li1∨Li2∨Li3 dimana setiap Lik adalah salah satu dari variabel x1,…,xn atau negasi dari salah satu variabel.
Dengan instance 3SAT yang demikian, pengurangan menciptakan instance MULTI-GAME yang terdiri dari n+1 game - satu untuk setiap variabel dan game lain yang digunakan sebagai capital sink berlebih. Pertama kita akan menentukan struktur grafik untuk setiap game, kemudian melihat contoh dan mendiskusikan ide inti, dan kemudian kita akan mencari tahu berapa biaya yang tepat untuk menentukan tepi agar pengurangan reduksi bertahan.
Pertama, grafik permainan variabel Gj untuk setiap variabel xj :
- Buat titik berlabel xj ditandai dengan A (yaitu titik menang untuk Alice). Chip untuk Gj dimulai pada simpul xj .
- Buat simpul bertanda T dan simpul bertanda F , masing-masing ditandai dengan B (yaitu keduanya memenangkan posisi untuk Bob). Buat tepi diarahkan dari xj untuk kedua T dan F , baik dengan biaya 1 .
Untuk setiap literal Lik dari klausa Ci , jika Lik=xj atau Lik=¬xj , membuat simpul berlabel CiTSEBUAH dan CiFSEBUAH ditandai dengan A dan simpul berlabel CiTB dan CsayaFB ditandai dengan B. Tambahkan tepi (T, CsayaTA ) dan(F, CsayaFA ) dengan biaya yang ditetapkan kelsaya k . (Kami akan mendefinisikanlsaya k nanti.)
Tambahkan tepi ( CsayaTA , CsayaTB ) dan ( CsayaTA , CsayaTB ) . Jika L.saya k= xj , maka set ( CsayaTA , CsayaTB ) biaya ke lsaya k- 1 dan ( CsayaTA , CsayaTB ) biaya untuklsaya k . Kalau tidak, setel biaya( CsayaTA , CsayaTB ) kelsaya k dan( CsayaTA , CsayaTB ) biaya kelsaya k- 1 .
Permainan capital sink:
- Buat simpul bertanda C , ditandai dengan B.
- Untuk setiap klausa Csaya , buat simpul bertanda CsayaSEBUAH ditandai dengan A, dan simpul bertanda CsayaB ditandai dengan B. Buat tepi (C, CsayaA ) dengan biaya tepi csaya (lagi ditentukan di bawah) , dan edge ( CsayaA , CsayaB ) juga dengan biaya edge csaya .
Ini banyak yang perlu dipertimbangkan, jadi semoga contoh membuat ini lebih mudah dicerna. Contoh 3SAT kami adalah sebagai berikut:
C1= x1∨ x2∨ ¬ x3
C2= x2∨ x3∨ ¬ x4
C3= ¬ x1∨ ¬ x3∨ x4
Reduksi mengubah instance ini menjadi 4 grafik game variabel dan 1 grafik capital sink. Dalam diagram di bawah ini, simpul merah ditandai dengan A (yaitu posisi menang untuk Alice), dan simpul cyan ditandai dengan B (posisi menang untuk Bob).
Grafik untuk x1 :
Grafik untuk x2 :
Grafik untuk x3 :
Grafik untuk x4 :
Grafik untuk capital sink:
Idenya adalah sebagai berikut:
Bob dipaksa untuk membuat pertama n bergerak untuk keluar dari kehilangan posisi di n game variabel. Setiap langkah tersebut mengkodekan penugasan benar atau salah ke variabel terkait.
Alice kemudian akan memiliki modal yang cukup untuk membuat tepat 4 langkah, yang masing-masingnya Bob harus memiliki modal yang cukup untuk mencocokkan agar Bob menang. The csaya nilai-nilai dan lsaya k nilai-nilai yang harus dipilih sehingga hanya mungkin strategi memenangkan Alice adalah sebagai berikut, untuk beberapa klausul Csaya :
Strategi Alice clause Csaya : biarkan Csaya= Lsaya 1∨ Lsaya 2∨ Lsaya 3 . Untuk setiap k∈{1,2,3} , jika Lik=xj atau ¬xj , pindah ke Ci?A dalam game variabel untuk xj . Juga pindah ke CiA di permainan capital sink.
( Ci?A menunjukkan CiTA atau CiFA , hanya satu yang dapat dicapai dalam permainan variabel tertentu setelah gerakan pembukaan Bob.)
Jika pembukaan bersesuaian Bob untuk tugas kebenaran bahwa daun beberapa klausul Ci tidak puas, maka Alice memilih Ci dan menerapkan strategi di atas biaya Alice li1+li2+li3+ci modal untuk melaksanakan, dan Bob sama untuk mengalahkan; jika di sisi lain Ci puas, maka lawan main Bob mendapat diskon minimal 1 . Tujuan kami dalam mengatur ci dan lik nilai dan modal awal Alice dan Bob adalah untuk memastikan bahwa diskon tersebut adalah faktor penentu apakah Alice atau Bob menang.
Untuk itu, atur b=m+1 , dan atur
lik=2b10+ib2k untuk setiapk∈{1,2,3} ,
ci=3b10+b8−∑3k=1ib2k ,
Modal awal Alice ke 9b10+b8 ,
dan modal awal Bob ke 9b10+b8+n−1.
Perhatikan bahwa semua nilai ini polinomial dalam m , sehingga turunan MULTI-GAME yang dihasilkan oleh reduksi memiliki ukuran polinomial dalam ukuran instance 3SAT bahkan jika biaya ini dikodekan dalam unary.
Perhatikan juga bahwa untuk setiap klausa Ci , li1+li2+li3+ci=9b10+b8 adalah modal awal Alice. (Yang juga 1 lebih besar dari modal Bob setelah membuat n pertama bergerak.)
Pertama-tama, segera jelas bahwa jika pembukaan Bob mendefinisikan penugasan kebenaran yang membuat klausa Ci tidak puas, maka Alice menang menggunakan strategi klausa Ci yang diberikan di atas.
Jika Bob yang membuka memuaskan semua klausa, kita bisa memperdebatkan batasan pada opsi Alice yang mengesampingkan kemungkinan lain dari kemenangan Alice. Perhatikan bahwa urutan Alice membuat gerakannya tidak relevan, karena respons Bob dipaksakan dan total modal yang diperlukan Bob untuk merespons langkah Alice tidak berubah oleh urutan gerakan Alice.
- Alice tidak dapat melakukan lebih dari 4 gerakan: jika Alice membuat 5 atau lebih gerakan, maka gerakannya memiliki total biaya ≥5b10 , yang melebihi anggarannya.
- Alice harus membuat 4 gerakan: jika Alice memilih 3 gerakan dari permainan capital sink maka total biaya nya adalah ≥9b10+3b8−3b7>9b10+2b8 yang melebihi anggaran. Jika dia memilih satu gerakan 3 saja dari permainan variabel, maka total biaya nya adalah ≤8b10+2b8+b7 yang secara substansial lebih kecil dari modal pasca pembukaan Bob, sehingga Bob dapat dengan mudah membayar lawan mainnya.
- Alice harus memilih langkah dari permainan capital sink: jika dia tidak, maka dia memilih 4 langkah dari game variabel, dengan total biaya ≤8b10+4b7 , dan sekali lagi Bob dapat dengan mudah membayar lawan mainnya. (Perhatikan bahwa jika ada permainan capital sink terpisah per klausa, kami bahkan dapat menunjukkan bahwa Alice harus bermain tepat dalam satu game seperti itu.)
Dari tahap ini kita dapat mengabaikan persyaratan b10 dan b8 dalam biaya perpindahan yang dipilih, karena mereka akan selalu berjumlah 9b10+b8 . Sejak Alice harus memilih tepat satu langkah di wastafel ibukota permainan, menganggap bahwa langkah adalah untuk CiA . Kemudian Alice memiliki (mengabaikan istilah b10 dan b8 ) ∑3k=1ib2k modal yang tersisa, dan Bob memiliki 1 kurang dari jumlah ini yang tersisa.
- Alice harus memilih setidaknya satu gerakan dengan biaya lj3 untuk beberapa klausa Cj : jika tidak, maka biaya perpindahannya (lagi-lagi syarat pesanan lebih rendah) ≤3b5 , dan Bob memiliki modal lebih dari cukup untuk bermain balik.
- Perpindahan ini mengatakan lj3 harus menjadi pemindahan biaya li3 : itu tidak bisa menjadi perpindahan dengan biaya lj3 untuk j>i , jika tidak, biaya perpindahan ini saja ≥(i+1)b6 yang lebih besar dari sisa Alice anggaran. Jika lj3 untuk j<i , maka biaya l(i−j)3 juga harus dipilih oleh Alice untuk menghabiskan b6Istilah -terima dalam sisa anggaran Bob. Tapi kemudian Entah b2 istilah orde kedua di sisa anggaran Bob atau b2 istilah orde kedua tidak mendapatkan kelelahan, sehingga Bob menang dgn mudah.
Argumen serupa harus menetapkan bahwa Alice harus memilih gerakan dengan biaya li2 dan li1 . Jika penugasan kebenaran Bob memuaskan Ci , maka bahkan strategi ini tidak berhasil, karena diskon yang didapat Bob pada salah satu dari biaya berbasis lik membuat modal kurang dari 1 ia miliki setelah pembukaannya.
Sebuah komentar pada jawaban saya sebelumnya: jelas di belakang bahwa, untuk varian TABEL-GAME dari MULTI-GAME yang saya definisikan dalam komentar dari jawaban itu, DP gaya ransel cukup untuk menentukan pemain mana yang memiliki strategi kemenangan. Anda dapat berargumen bahwa strategi terbaik Bob adalah selalu merespons keadaan yang hilang dalam tabel permainan tertentu dengan investasi seminimal mungkin (ini tidak dapat memotong langkah selanjutnya untuk Bob yang seharusnya ia lakukan sebaliknya), dan dari sana urutan tersebut pergerakan Alice tidak masalah. Ini kemudian menjadi masalah memilih pemisahan modal Alice di antara permainan sedemikian rupa sehingga jumlah respons kemenangan minimal Bob atas game-game tersebut melebihi anggarannya, yang dapat dibingkai ulang sebagai masalah gaya ransel, yang memiliki DP polinomial waktu ke representasi biaya unary. (Perulangan saya sebenarnya akan '
Ternyata bahkan struktur pohon sederhana untuk setiap game, dengan kedalaman konstan dan benar-benar hanya satu garpu bermakna per game (yaitu yang di awal yang memaksa Bob untuk memilih tugas kebenaran) sudah cukup untuk mendapatkan kekerasan NP. Saya punya beberapa ide untuk menyingkirkan garpu awal itu, yang terhenti karena entah bagaimana memaksa Bob untuk menginvestasikan sejumlah besar modal tetap dalam n game tanpa Alice harus terlebih dahulu berkomitmen untuk game-game sebelumnya, tetapi jelas karena TABLE-GAME ada di P ini tidak mungkin tanpa garpu.
Saya belum terlalu memikirkan case khusus Anda dari UPD3 . Saya menduga itu juga NP-hard, karena alasan variabel gadget saya sekilas sepertinya mereka dapat beradaptasi dengan kendala tersebut, tetapi saya mungkin tidak akan memeriksanya lebih jauh.